陈兴团，马昌凤

(福建师范大学 数学与信息学院，福建 福州，350117)

矩阵方程常常在多个领域出现，如控制理论[1-2]、系统理论[3-4]、稳定性理论以及一些纯应用数学理论。因为矩阵方程[5-13]的应用比较广泛，所以，许多学者都致力于对它进行研究。有很多方法可以用来求解矩阵方程，如共轭梯度法[14-15]、矩阵分解法等，本文提出了一种参数迭代法[16-19]来求解矩阵方程。还有一些其他方法，见参考文献[20-24]。

设A，B，C，D∈Cn×n，考虑矩阵方程

AXB+CXD=F

(1)

方程(1)仅有一解的充要条件是BT⊗A+DT⊗C的特征值不为零。若B和C均为可逆矩阵，则矩阵方程(1)等价于

(C-1A)X+X(DB-1)=C-1FB-1

(2)

方程(2)仅有一解的充要条件是C-1A与DB-1没有互为反号的特征值。此外，如果A，B，C和D都是埃尔米特正定矩阵时，那么，BT⊗A+DT⊗C也是埃尔米特正定矩阵，从而方程(1)有唯一解。

1 参数迭代法的建立与收敛性分析

选取实数α≠0，使αB+D和αC+A均为可逆矩阵，令

(3)

即

(4)

将方程(1)两端乘以α，得

αAXB+αCXD=αF

X=MXN+Y0

(5)

易见，方程(5)与方程(1)等价。下面将给出相应的参数迭代格式：

X(k+1)=MX(k)N+Y0，k=0，1，…

(6)

利用拉直算子将式(6)转化为列向量形式

vec(X(k+1))=(NT⊗M)vec(X(k))+vec(Y0)，k=0，1，…

(7)

式(7)是一阶线性定常迭代格式，它的迭代矩阵为NT⊗M，且有

ρ(NT⊗M)=ρ(NT)ρ(M)=ρ(M)ρ(N)。

有如下的收敛性定理。

定理1对任意给定的初始矩阵X(0)，格式(6)收敛的充要条件是ρ(M)ρ(N)<1。

证明当矩阵C可逆时，设M的任一特征值为λM，对应的特征向量为x，则有Mx=λMx，利用式(3)可求得

(8)

(9)

即M的特征值可由C-1A的特征值表示。

当矩阵B可逆时，设N的任一特征值为λN，则λN也是NT的一个特征值，记对应的特征向量为y，则有NTy=λNy，利用式(3)可求得

(10)

(11)

即N的特征值可由DB-1的特征值表示。

定理2设B和C都可逆，对任意给定的初始矩阵X(0)，格式(6)收敛的充要条件是