李红伟 闫俊英

【摘要】    在数学问题的解决中应用先进信息技术可谓是确保信息技术和数学教学有效结合的最佳途径。而以整合技术为着力点的数学问题解决框架正好为此明确了行动方向。本文先阐述了相关理论及以整合技术为基础的数学问题解决框架，而后结合实例加以分析，最后展望了基于整合技术的数学问题解决框架的应用前景。

【关键词】    整合技术    数学问题    解决框架

引言：

新时期下，先进信息技术和学科教学进一步结合已是教育事业发展的必经路径，备受各界关注。教育部于《普通高中数学课程标准》中明确指出，学生数学问题解决水平的优化提升是6大数学核心素养培养的终极目标，可见在数学问题解决中对信息技术予以利用极具意义且必要。在此背景下，以整合技术为基础的数学问题解决框架备受瞩目，其能对学生数学能力予以强化，开发大脑潜能。随着GeoGebra这款动态数学软件在数学教学中的宽泛应用，部分开放型数学问题能被很好的解决，将其与整合技术的数学流畅性予以结合，可谓是教育事业的进一步发展。

一、理论基础

1.1符号中介理论

该理论即知名学者维果斯基以“符号中介”为基础发展所得，其表示教师对人工制品相应符号潜能加以分析后，以教学周期为着力点，组织既定任务抑或活动，且专门利用某些人工制品为学生所用，使学生在此期间将自身个体意义面向既定数学意义所转化，从而更好的实现学习目标。在此期间学学生运用到的手势与语言等军属于人工制品符号，教师具体起专家向导的作用。

自符号潜能而言，人工制品囊括两个方面的符号关联：一是学生借助人工制品完成能力范围以内的任务，此时学生脑海内的个人意义和人工制品便具有了符号联系;二是基于人工制品经由专家认定为数学的意义和其产生符号联系。可见，人工制品在学生个人和既定数学意义中起连接作用。故而，教师应把人工制品看做是数学意义的符号中介工具，将和其有关的符号转换成数学符号，即借助多样化方式收集所得的人工制品符号对学生个人意义加以阐明，即数学问题解决时学生内心和数学意义两者的有效转化。

1.2工具化理论

该理论的意义即对人工制品以及心理工具两者的差异加以区分，前者含义更为宽泛，包括所有物质工具，但既定情境中却无法明确表述，既能是物质工具拥有的特定功能，还能是工具的整体，后者则表示人借助前者落实某个既定任务时，人与人工制品两者具有意义的联系。可见，后者不但讲人工制品包含在内，也将工具用户应用人工制品期间发展与利用的技艺、心理图式包含在内。

就心理工具而言，其属于个体构念，存在心理特征，且与其形成、发展对应的环境息息相关。学者Rabardel将心理工具的产生、发展过程称作工具生成，包含工具内化与外化两大过程，前者即人工制品各部分的产生、发展，人类的知识对其使用方式具有指导意义，后者表示使用方案的产生与演变。上述不同过程反映了人工制品能经由人的思维产生，也能对人的思维加以塑造。现阶段，工具化这一理论已成为国外数学教育研究畛域最常用的方式之一，能给予一个分析框架，对人使用既定人工制品存在的认知过程加以分析，在此理论上，将GeoGebra这一先进教学软件与学生应用该软件期间的技艺、心理图式作为心理工具，对学生的具体操作加以观察，能对学生在数学问题解决期间的心理予以分析。

二、基于整合技术的数学问题解决框架概述

对问题的最佳解决方案抑或可能结果加以寻找的过程即问题解决。在此期间，个体基于问题情境选取以往的知识经验，为目标的达成探寻可能的解决方式，且重组和其有关的信息以获得可行性方法。1980年，波利亚关于数学本质及问题解决这一论点备受人们关注，并使人们发现了数学问题解决以及数学内容两者都是同等重要的。学者Schoenfeld将学生介于数学问题解决期间的表现区分成了多个环节，读题、分析、探索、计划、执行、验证。学者Martin以及Grudziecki对整合数字技术的问题解决基本框架进行了开发，囊括如下环节：陈述、辨别、获取、评估、解释、组织、整合、分析、综合、创建、交流、传播、反思。

学者Jacinto以及Carreira在上述研究的基础上，对基于整合技术的数学问题解决框架进行了提出，通常被称为MPST框架，此框架中解决过程被划分成是个环节，即理解、察觉、解释、整合、探索、计划、创建、验证、传播、交流。研究基于以上理论对与中文表达模式更为契合的正儿技术的数学问题解决框架进行了提出，起囊括三大阶段，九个环节：一是准备阶段，包含三个环节，即理解问题、掌握重要信息、思考技術功效;二是解答阶段，包含实现问题条件、探究结论、拟定解题方案、完成解题、书写过程这5个环节;三是反思阶段，包含解题思维的分享、方案的展示这一环节。在此研究中我们需要注意一点，MPST这一框架内提及的“交流”，不但指学生之间的交流，也指学生和老师的交流，研究场景仅对应某一研究对象，故而此交流的发生以师生为主。

三、研究分析

3.1研究设计

1.研究对象。伍X是一名在校生，对数学极为热爱，数学成绩排名靠前。此次研究以该同学为目标对象，对其基于整合技术的数学问题解决加以研究，其中对三角形全等与等边三角形等数学知识加以利用。该同学数学教师时常通过几何画板对数学知识、问题进行讲解和探究，故而伍X对几何画板较为熟悉，因GeoGebra软件和几何画板具有一定的相似性，所以让该同学先学习此款软件的基本操作而后开始数学问题的解决。

2.研究过程。伍X利用GeoGebra软件对数学开放型问题进行了3次自主探究，在实践的同时也进行口头说明，并通过视频录像予以记录。探究完成后，对该同学构建的软件文件和通过纸笔解答问题的过程进行访谈。第2次探究对应的问题为：线段AE这一边的△ABC、△CDE（顶点均依照顺时针方向排列）都为等边三角形，角ACE明显小于120度，若点P为线段BE中点，M为AD中点，请问△CPNI是否为特殊三角形？

3.数据收集和分析。与前文两大基础理论相结合，本次研究对3种形式相关数据进行收集与分析，获知产生了三角互证。具体过程详见下表1所示：

数据分析步骤：先把视频、录音文件做成文本实录，产生逐字稿;而后把基于整合技术的数学问题解决框架作为编码系统，选择内容分析法对采集所得的数据资料有效分析。

3.2研究结果

该小节将自准备、解答、反思这三个阶段对研究结果进行表述：

1.准备阶段。1）对问题真实含义加以理解。此环节内，伍X的语言属于发挥中介功能的人工制品，能让我们获知其正处于理解问题含义的状态中，其数学老师则为专家向导从旁引导。2）掌握重要信息。伍X同学正确把握了该题条件内的细节，“同侧”以及两个等边三角形顶点均依照顺时针方向排列，且明确了角ACE小于120度，这说明C为动点，此点位置不同则几何图形也将不同，会使△CPNI形状改变。此分析源自伍X运用的GeoGebra文件，这便是数学问题解决期间形成的人工制品符号，对伍X心理图式的了解大有裨益。3）技术功效的思考。该同学早已学习了怎样利用GeoGebra软件，这代表其明确了人工制品的潜能以及限制，脑海已有知识对其实践操作进行引导，意味着其和人工制品产生了有意义的联系，在此阶段人工制品已转换成心理工具。

2.解答阶段。1）实现问题条件。此环节等同于工具内化过程，伍X同学的数学、技术知识有效互融，对其实践操作进行引导，并产生全新的人工制品，也就是和问题对应的几何图形，并在该同学个人、数学意义两者的转化过程中发挥了中介作用。2）对可能结论加以探索。此环节具体对该同学绘制的几何图形进行说明，并得出△CPNI属于等边三角形这一结论。如此表明了GeoGebra绘制所得的几何图形和其拖动作用属于人工制品，对伍X思维进行了塑造，促使其形成了新想法。3）拟定解题方案。此环节内，伍X利用GeoGebra使几何图形于动态变化期间依旧具有之前的数学性质，最终获知△BCE和△ACD为全等关系，并对其后续问题解决思维进行影响。4）解题方案的落实。此环节中伍X同学经由工具外化领悟了数形结合思想，利用文本记录，并对新的人工制品符号进行了创造，即文本解答档案。5）解题过程的书写。这一环节中，对该同学解答文本予以分析，获知其表述的数学意义，这表明解答文本便是新形成的人工制品符号。

3.反思阶段。1）解题思维的分享。经过在纸上书写解题步骤，对解题思路再一次整理，同时对伍X 同学表述能力进行了锻炼。

3.3研究结论

1.基于整合技术的数学问题解决过程，对较好的数学流畅性进行了展示。2.在数学问题解决期间对整合技术利用时，数学教育技术实质上属于属于心理工具。3.以整合技术为支撑的数学问题解决框架给新时代下数学教育事业的进步给予了方向。

四、基于整合技术的数学问题解决框架的应用前景

1.强化数学基础知识，数学问题解决水平进一步提升。学生持续汲取以及建构是数学知识对数学问题的有效解决大有裨益。就义务教育课程改革而言，一大重要目标便是使学生具有利用所学知识技能有效解决问题的能力。教师在教学期间，需以数学教材为着力点，确保所有基础知识的讲解透彻清晰，在为学生设计习题期间，应当“典型化”，将多项技术整合，如GeoGebra等，从而使学生对已学知识不断建构、重组，最终实现成功解决一道数学题、掌握一类数学题之成效。

2.学生数学教育技术素养进一步提升。自学习科学这一层面而言，技术给学习给予了较多功效，如交互性、选择、开放式学习者输入等等，这正好和“技术赋能学习”的论点相契合。此次研究经由对学生基于数学教育技术支撑环境中数学问题解决过程的表述，获知技术可给学生进行问题解决予以线索，为学生在数学知识和技术操作方面的整合提供帮助，构建产生全新的知识对象，且在问题解决期间对数形结合这一思想进行了渗透。在此背景下，为确保学生数学素养不断提升，学校会大力面向学生组织数学软件培训，对他们的数学教育技术素养加以提升，让他们明确认知技术在学习中的效用，并在此基础上开发思维、学习建构新知识。

3.基于动态数学软件对学生整合技术之数学流畅性予以发展。此次研究表明，借助GeoGebra对数学问题的解决大有裨益，能构建新的知识对象，在问题解决方案的解释及交流等层面极为关键。实质上，除开GeoGebra，还有其他教育技术均可给学生构建适宜的互动环境，为学生知识的重组、建构提供帮助，未来将有更多动态数学软件在数学教育中被运用，对整合技术之数学流畅性的发展予以支撑。

五、结束语

本文对以整合技术为基础的数学问题解决框架展开了分析，得到了如下结论：一是基于整合技术的数学问题解决过程，对较好的数学流畅性进行了展示;二是在数学问题解决期间对整合技术利用时，数学教育技术实质上属于属于心理工具;三是以整合技术为支撑的数学问题解决框架给新时代下数学教育事业的进步给予了方向。

参  考  文  献

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