陈秀华

（大田县教师进修学校，福建大田366100）

建立数学模型是指学生能够从现实生活情境中抽象出数学的问题（发现、提出数学问题）；经历猜测、验证，用数学符号表示数学问题中的数量关系、图形关系或变化规律，从而求出结果（分析、解决数学问题）；再将结果迁移运用到新的实际问题中解决相类似的问题的过程。学生在建立数学模型，求解运用数学模型的过程中，发现和提出问题的能力以及分析和解决问题的能力得到良好的培养；能更透彻地理解数学知识，更准确地把握数学知识本质，从中体会到数学学习的思维方式，感悟数学思想方法，促进数学思维能力的提升。［1］建立数学模型的过程就是数学建模能力培育的过程。那么，怎样在小学数学课堂教学中培育数学建模能力呢？

一、铺垫模型：将生活问题转化成数学问题

一切数学的概念、原理、规律、定律都能够在生活中找到原型。生活原型是建构数学模型的源头活水。在教学过程中，适当地引入合适的生活事例，可以让学生体验到数学问题起源于真实世界，而不是来源于课本；可以有效地消除学生对学习抽象性极强的数学知识产生的恐惧。［2］因此，教师应根据数学知识结构特点精心地选用现实情境，结合学生的认知结构特点，找准学生的认知最近发展区，将数学问题巧妙地蕴藏在创设的现实情境中，引导学生在现实情境中发现数学问题，将生活问题转化成数学问题，引发学生进一步思考。

如“植树问题”一课，教师首先出示一组图片（如图1），请学生看图，并说一说“有几枚钉子几幅画”。

图1

学生发现了显而易见的规律：有3枚钉子3幅画。引发学生进一步思考：几枚钉子10幅画？30枚钉子几幅画？钉子和画之间有什么关系？总结出钉子的枚数和画的张数一样多的规律。

接着，教师出示第二组图片（如图2），请学生看图，并说一说发现什么规律？想提什么数学问题？

图2

学生通过仔细观察，发现了规律：2枚钉子1幅画，3枚钉子2幅画，4枚钉子3幅画。提出问题：几枚钉子8幅画？15枚钉子几幅图？100枚钉子几幅图？引导学生进一步思考：钉子和画之间有什么关系？最后总结出钉子的枚数总是比画的张数多1的规律。

创设这样的现实情境，符合学生的认知起点，因此能够激活学生“植树问题”的生活经验，并从中发现数学问题，激发学生的数学思考。生活中，用钉子固定画时，有时钉子和画的数量相同，有时钉子和画的数量不同。从而提出问题：钉子的数量和画的数量之间有什么关系呢？激发学生进一步探究的意愿，同时让学生体会到要探究、发现规律，需要仔细观察、认真思考、深入分析，才能解决问题。

二、建构模型：经历数学建模的全过程

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第一、二学段的“学段目标”中对“建立数学模型”的教学目标定位于“在教学中初步、适当地渗透模型思想”。因此，在教学中应根据小学阶段数学知识的特点和学生的认知水平，选择合适的建模点，借助典型的例子，引导学生充分经历从“境”到“模”的抽象过程，大力培养学生“提出猜想——验证猜想”的科学精神，［3］在运用模型解决相关问题的过程中，体会数学模型的价值，感受数学模型的魅力，提升数学建模的能力。

数学建模过程大致要经历以下几个步骤：创设情境，提出问题——提出猜想，验证猜想——应用模型，解决问题。如“乘法分配律”的教学。首先教师出示三个问题（如图3）。让学生认真读题，审清题意，独立解决问题。然后提出新的问题：每个问题能用几种方法解决？不同方法之间有什么关系？

图3

在学生独立解决问题、自主比较异同的基础上，小组讨论、全班交流。解决第一个问题有两种方法：方法一，（78＋56）×50=134×50=6700（元）；方法二，78×50＋56×50=3900＋2800=6700（元）。解决第二个问题的两种方法是：方法一，（12＋18）×20=30×20=600（平方米）；方法二，12×20＋18×20=240＋360=600（平方米）。第三个问题的两种解决方法是：方法一，（4＋3）×6=7×6=42（个）；方法二，4×6＋3×6=24＋18=42（个）。学生通过结合具体情境交流讨论、分析比较，总结出三个问题解决的思路一样，都有两种解决问题的方法，分别是先算和再算积或者是先算积再算和。进一步分析理解三个问题都可以用这样的两种方法计算的原因是其中包含有相同的因数。用两种方法解决了同一个问题，因此得到了三组等式：（78＋56）×50=78×50＋56×50，（12＋18）×20=12×20＋18×20，（4＋3）×6=4×6＋3×6。让学生观察这三组等式，理解等式的含义，提出猜想：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再相加。

学生举例验证猜想。先写出等式，再说明等式成立的理由。交流学生的验证方法，出现五种典型方法。有的学生从等式意义角度说明等式成立的理由，比如：（14＋16）×25=14×25＋16×25，左边表示30个25，右边表示14个25加上16个25也是30个25，所以两边相等，等式成立。有的学生用等式编一个数学小故事说明等式成立的理由，比如：水果店运来14箱苹果和16箱梨，每箱重25千克。这些水果一共重多少千克？（○+△）×□=○×□+△×□这是用简单的图形符号表示。有的用画图的方法表示。有的用字母式表示：（a+b）×c=a×c+b×c。教师有层次地呈现这些典型方法，让学生在交流中寻找与自己相似的方法，在积极地讨论中，不断自我否定、自我补充完善，从而抽象出乘法分配律的数学模型。最后，引导学生应用乘法分配律模型解决一些生活中的实际问题，体会数学模型的价值。整个过程，学生经历了建立数学模型的过程，培养了数学建模能力。

三、迁移模型：应用数学模型解决实际问题

数学建模的本质包括建立模型和求解模型。建立模型是指从现实情境或具体情境中抽象出数学问题，用数学形式符号建立数学模型，这个过程是现实情境数学化的过程。求解模型是应用数学模型解决问题的过程，学生在应用所建立的模型解决实际问题的过程中，能感受到数学模型的价值，激发建立数学模型的兴趣，树立建立数学模型的信心，发展数学建模能力。

四年级学生在学习完“线段、射线、直线”之后，研究了数线段的数学问题。如：在数图4中有几条线段时，先数基本线段有3条，再数由相邻两条线段组成的比较长的线段有2条，最后数由三条基本线段组成的最长的线段有1条，1+2+3=6（条），所以一共有6条线段。再要求学生数一数图5中有几个角，图6中有几个三角形。发现数角和数三角形的方法和数线段一样。认识到数角、数三角形和数线段是具有相同结构的数学问题，都是属于数线段模型。然后设计应用练习：5个参加讲故事比赛的同学站成一排，每个人要握一次手，一共需要握几次？研究这个问题时要画图，把5个同学看成线段上的5个端点，一共需要握1+2+3+4=10（次）。有6支足球队，要进行单循环比赛，一共要赛几场？要把6支足球队看成线段上的6个端点，一共需要赛1+2+3+4+5=15（场）。

图4

图5

图5

比如：学习完“植树问题”可以设计这样的变式练习：（1）在全长900米的马路两边装路灯，每隔30米装一盏，一共要装多少盏？这道题的变式属于条件性扩展。没有明确指出实际装路灯的情况（两端都装，两端都不装，还是只装一端），因此学生需要进行分类思考，根据自己所假设的装灯情况进行解答，还要注意“路的两边”这个扩展性条件不能忽视。（2）爷爷上楼，从一层到二层用了2分钟，照这样计算，爷爷从一层回到五层楼的家要用几分钟？这道题的变式属于可逆性变换。解答这道题首先应找到对应关系，即爷爷从一层回到五层楼所用时间相当于路长（这是需要求的问题），走一层楼所用的时间是间隔，要走几层楼梯是段数。这道题用来让学生深入辨别“植树问题”，其中的对应关系不容易找到，因此要引导学生用画图的方法直观地表示出题意，从而找到对应关系，然后再用植树问题的模型解决问题，感受数学模型的价值。

四、结语

数学建模能力的培育需要一个长期的循环往复的过程，并非一蹴而就。在教学中，要坚持引导学生经历从现实问题情境或具体生活实例中抽象出数学问题，提出自己的猜想，调用自己的知识经验去验证猜想，用数学语言表达数量关系和变化规律，形成数学模型，然后解构数学模型的过程。学生只有经历了模型建构和解构的过程，数学建模能力才能得到有效发展。教材中关于数学模型建构的内容很丰富，如：单价×数量=总价的价格模型、速度×时间=路程的路程模型、鸡兔同笼问题模型、相遇问题模型，还有一些运算定律和基本的数量关系模型等等。教学时，要做到深入挖掘，适时渗透，让学生感觉到数学模型无处不在；要从低年级开始逐步培养学生的数学模型意识，实现前铺垫，后照应，引导学生逐渐体会研究模型、建立模型、应用模型是数学学习的本质，逐步培育学生的数学建模能力，提升学生的数学思考力，发展学生的理性精神。