李建新 (江苏省泰兴中学 225400)

1 寻找切点——透视一类超越函数的零点问题

例1已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则实数a的取值范围为．

分析 对于函数有零点的问题，一是直接求解，借助函数的单调性，结合函数零点的存在性定理求参变量的取值范围；二是分离参变量，转化为函数的值域问题；三是数形结合，即转换成两个不同函数的图象有公共点的问题．我们推荐第三种做法．

解函数f(x)=ex-2x+a有零点，所以方程ex=2x-a有解．令y=ex，y=2x-a，则本题转化为直线y=2x-a与曲线y=ex有公共点．易求出斜率为2且与曲线y=ex相切的直线方程是y=2x+2-2 ln 2．结合图象可知：当-a≥ 2-2 ln 2，即a≤-2+2 ln 2时符合题意．

借助切线，举一反三，我们可以解决很多类似的问题．

变式1已知函数f(x)=ex-a(x+1)，其中e为自然对数的底数，a∈R．g(x)=(a+e)x，若存在x0∈R，使得f(x0)=g(x0)成立，则实数a的取值范围为．

例2(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1) (e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．

分析 题中提到“在点A处的切线”，因此A就是切点，故可以从点A出发．设A(x0,lnx0)，求出切线方程，然后利用点(-e,-1)在切线上得关于x0的方程，解方程即可得点A的坐标．

图1

变式(2013·江苏20改编)设函数f(x)=lnx-ax，其中a为实数，若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

由以上的题目可以看出，如果我们平时能有一定的知识储备，无论是例题还是变式，我们都能迅速进入解题状态，赢得解题先机．

2 探求切线——破译含参不等式的恒成立问题

例3若不等式ex≥kx恒成立，则实数k的取值范围是．

分析 这是一个不等式恒成立的问题，处理此问题一般有三个角度：第一是分参；……