【摘要】本文基于一次主题教学沙龙活动的话题，论述开掘课题研究题材的方法，提出在教学实践活动中观察与思考教学现象、植根于教学实践开展课题研究的教学建议，从而形成有意义的、切实可行的课题。

【关键词】教学实践 问题 教学研究 课题 鸡兔同笼

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）29-0100-03

“教学即研究，教师是研究者。”然而，对于做课题研究，许多教师一筹莫展，误认为“课题研究很神圣，是专家、教授们干的事”。其实，课题研究不像教师想象的那么神秘，也不是专家、学者的“专利”。课题研究是教师的分内事，教师站在教学的第一线，既贴近教学实际，也贴近学生生活，有得天独厚的研究条件，有可能、也应该成为课题研究的主力军。研究态是教师的工作常态，因为教师每天都要研究学生、教材和教学过程，这些研究和实践经历是珍贵的课题研究素材。

然而，在现实中，许多教师对工作常态的内容习以为常，找不出问题，也就无法找到课题研究的“点”。那么，究竟如何在教学实践中寻找问题，挖掘研究题材？我们先看一次主题教学沙龙活动：“鸡兔同笼”问题的“教”与“学”。本次主题教学沙龙活动的流程先由各参与者介绍钻研教材所得、教学实践感受和观课感想等，再针对问题群体研讨。因事先准备充分，主题教学沙龙活动气氛活跃，教师有话想说、有话可说，自由谈论，各抒己见。其中，两位教师的讲述引人注目——

【甲教师的讲述】

我碰到一件非常糟糕但又非常有趣的事，一位当教授的朋友带着儿子找我帮忙。他的儿子上小学二年级，在一个奥数培训机构“加餐”，带回了一道题：学校的停车棚里停放着自行车和三轮车，共有8辆，轮胎共有21个。车棚里三轮车、自行车各有几辆？

孩子百思不得其解，向父亲请教。父亲一看此题有两个未知数，且数量关系明显：自行车辆数+三轮车辆数=8，自行车轮胎总数+三轮车轮胎总数=21，于是，从分析数量关系入手，列出二元一次方程组。对于这样的列式，孩子目瞪口呆，一脸的不解。于是，父亲又改列出一元一次方程，孩子直摇头，表示不理解。父亲只好用凑数方式求得结果，但又被孩子否定了，因为孩子要的是算式！

在无计可施的情况下，他们找到了我。问清原委后，我与孩子进行了互动：

师：小朋友，你有没有发现这是一个“鸡兔同笼”问题？

生：题目说自行车和三轮车，没有“鸡兔同笼”。“鸡兔同笼”我会做，用口诀解题。

【他拿出在培训班做过的题：鸡兔同笼，有10个头，共36条腿，问鸡、兔各有几只？题目下方写了两个算式——兔：（36-10×2）÷（4-2）=8（只） 鸡：10-8=2（只）】

师：你知道第一个算式的意思吗？

生：老师只教我们口诀：假设全是鸡，首先算出兔，（鸡兔总腿数-雞兔总头数×2）÷（4-2）=兔的只数……老师还教了“抬腿法”解题……

师：你喜欢画图吗？

生：当然！我是班里的美术科代表。

师：请你用画图的形式把题目意思画下来。

（开始时，学生只画了个实物图。在教师的启发下，学生按下列顺序画出示意图：①画8个长方形代表8辆车;②在每辆车的下方各画2个圆圈表示2个轮胎;③默默地口算：二八十六，21减去16等于5;④在前5辆车的车头位置各画一个圆圈）

师：你再继续画下去呀！

生：不画了，再画就画多了。因为二八十六，21减去16等于5，5加16等于21。

师：你画的三轮车、自行车各有几辆？你画的图与题目意思相同吗？

生：三轮车5辆，自行车3辆，一共8辆，轮胎共21个。我们老师说没有算式不行，不算是解题。

师：这是图示法，就是画图解题，是解决数学问题的好方法。你要算式也可以，把你想的过程写下来就是了。

（生写出算式：8×2=16，21-16=5）

当时我想：奥数班学“鸡兔同笼”，每只鸡兔腿数相差2，假设后的总腿数与实际总腿数的差是双数。而本题每辆三轮车与自行车轮胎数的差是1，1又要当除数，假设后的轮胎总数与实际轮胎总数的差是单数，单数要充当被除数，可能是这个原因使他犯难。于是，我继续引导：

师：你为什么在前面这几辆车的每辆上再画1个轮胎？为什么只画5辆？

生：我明白了。【继续写：3-2=1（个），5÷1=5（辆）】

师：这些算式记下了画图过程。现在，你能看算式说画图过程吗？

生：8×2=16是把8辆全画成自行车，21-16=5是发现轮胎总数少了5个，3-2=1是一辆自行车比三轮车少一个轮胎，5÷1=5是把5辆自行车改成三轮车。

师：自行车好比“两脚鸡”，三轮车是“三脚兔”。当你把8辆都画成自行车，就是假设全是“两脚鸡”，发现有问题，就把5只“两脚鸡”改成“三脚兔”。

生：原来是这样。

师：如果假设全是“三脚兔”，你能画图、列式吗？

（生画图、列式，说解题思路）

师：你真棒！既会画图解题，又会列式计算，这就是数形结合，它是解题的好办法，今天用到了，以后还会用到。

（孩子父亲在一旁眉开眼笑）

父：我把凑数方法汇成一张表，根据“两种车共有8辆”，把所有可能都填上去，再看哪一种情况符合“轮胎总数是21”这个条件。（父子合作列表）

生：只有“自行车3辆，三轮车5辆”符合条件，轮胎总数是21个。

师：这是列表试验法，也是学习数学的好办法。

【乙教师的讲述】

我校组织四年级下册数学拓展性训练评估，其中，有一道题很邪门：某校举行一次数学竞赛，共有15题。每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分。小明共得72分，做对几题？说它邪门，是因为得分率只有18%。这题属于“鸡兔同笼”问题，具有明显的“鸡兔同笼”问题结构特征，按理说学生会找到解题思路：假设15题全做对，得满分120分;实际只得72分，失去48分;每错一题失去12分，做错4题。列式表示，错题：（15×8-72）÷（8+4）=4（道），正确11道。

教师在事后访谈学生：“这是‘鸡兔同笼问题，你当初怎么没有想到？”大部分学生的回答非常相似，又非常令人震惊：“题目里没有说把鸡和兔关在一起呀？”

针对两位教师的讲述内容，教师在主题教学沙龙活动上群体讨论的焦点聚集到以下问题：

一、“鸡兔同笼”问题在何时教学比较合适

这个问题涉及教材编排体系。以人教版为例，2001年版教材将“鸡兔同笼”放在六年级上册，2011年版将其下放到四年级下册，这一调整存在什么玄机？对六年级学生来说，解决“鸡兔同笼”问题的可能方法有哪些？教学内容下放到四年级，学生解题方法有什么限制？在四年级教学需要突出什么？第一个案例中的奥数班教师“冒教材编排体系之大不韪”，在二年级实施教学，教学基础是什么？若可行，教学到什么程度？教学方法如何选择？实际上，奥数培训者让学生背口诀，口诀中蕴含着假设思想，只不过学生不知其义。用“抬腿法”解题，“抬腿”是将方程组中第二个方程的两边同时除以2;“总腿数折半后减去鸡兔总只数”蕴含着加减消元思想。对二年级学生来说，这些是“天书”。奥数班教师和孩子的教授父亲在没有破解“天书奥秘”的情况下实施教学，徒劳无功。但是，这些问题对教学目标的确定、教学方法的选择产生重要影响，因此，有必要在实施教学之前研究教材编排体系，厘清数学知识的来龙去脉。“鸡兔同笼”问题教材内容需要好好梳理，小学数学其他知识同样如此，这样才能在合适的时间段对特定年龄段的学生实施精准教学。

二、“鸡兔同笼”问题的教学价值是什么

“鸡兔同笼”问题经过1500多年流传，经久不衰，魅力何在？课堂上究竟要“教什么”“学什么”？

从结构看，“鸡兔同笼”是这样一类问题：两种有联系的事物放在一起，已知它们的两个属性的指标数和指标总数，求这两种事物各自的数量。此类问题带有普遍性，问题中蕴含着化繁为简的化归、假设、数形结合、方程、建模等数学思想和方法。在小学以“鸡兔同笼”形式出现，增加了问题的趣味性，但或多或少影响了它的拓展广泛性（从第二个案例中学生对问题的误解可见一斑）。其教学目标并非只能解一个问题，而是能解一类问题。

在教学中，教师要探索解决此类问题的多种方法，以“一道题”带出“一类题”。若安排在六年级，学生解决此类问题的方法有多种，但因在五年级学习了方程，大部分学生会摈弃其他方法，选择列方程解答，这对数学思想和方法的渗透极为不利。新教材把它放在四年级，就是要让学生学习必要的数学思想和方法，能用假设法来解决具有“鸡兔同笼”问题结构特征的同类现实问题。“鸡兔同笼”问题教学价值如此，其他数学知识的教学价值也需要好好研究。

三、如何实现“鸡兔同笼”问题的教学价值

在明確“教什么”和“学什么”的前提下，研究“怎么教”和“怎么学”就显得非常重要。第二个案例中，学生解题正确率只有18%，虽然乙教师未说明其学校师生的教学情况，但能隐约地感觉他们在教学目标的设定、教学方法的选择、教学行为的有效性等方面存在的问题。

如果用“以学评教”的观点来推断，奥数班教师的教学属于强迫性灌输，其结果必然是食而不化：学生只能背口诀，但不能解决真实问题，甚至连“依样画葫芦”都不会！教授教儿子，只考虑知识本身，没有顾及（或根本不知道）自家孩子的知识基础和认知特点，对着二年级学生讲“天书”，其结果必然是一无收获。

甲教师“受命于危难之中”，他遵循儿童学习规律，选择儿童喜欢的画图方式进行教学，让学生通过画图认识“鸡兔同笼”问题的形，再让学生想画图过程写算式、看算式回忆画图过程，将数形有机结合，渗透数学思想，使学生感觉到“鸡兔同笼”问题的神奇，这样，教学价值得到体现。甲教师教学成功的主要因素是把学习主体复归于学生，其教学行为是“为学而教、以教促学”。如学生思维受阻，只列两个算式，教师分析原因并及时施策，诱发其写出后两个算式，提高了教学行为的有效性。

此次教学沙龙已经过去，但教学研究的“精气神”延绵不绝，引人深思，催人开展课题研究。在沙龙中，参与者抛出各种教学实践问题，诱发同伴深究，借助群体智慧梳理出有价值的研究问题。后经研究者进行主题提炼，形成多个教研课题：以教材编排体系为主题的有《人教版小学数学“数与代数”教材编排体系的研究》《人教版“数学广角”教材编排体系的研究》等5项;以教学价值为主题的省级教研课题《在数学教学中渗透数学思想和方法的实践与研究》（获浙江省教研课题研究成果一等奖）;以教学行为为主题的省级教研课题《教师教学行为有效性的实证研究》等。

通过一系列研究经历，我们加深了对课题研究的认识：

（一）课题研究是教学研究的主要方式

教学研究是教师在教学实践活动中对教学现象的观察与思考，对教学问题所做的尝试性解答。教学研究形式多样，但课题研究是其主要方式，以课题研究为载体，可以系统地解决问题。从研究方法和操作方式看，教学研究课题与自然科学研究课题是有区别的，但此类课题研究还是相对规范、相对科学的，它具有科研的性质。具体而言，教学研究课题有以下特性：

1.实践性。在教学实践过程中展开，所研究的问题来源于教学实践，通过研究，改进教学实践，进而解决问题。比如，以上所列课题均来自教师的教学实践。

2.合作性。教学研究不是个人化的，课题研究者需要与人合作、与人对话（包括学生、同事、专家、研究者本身等）。基于开放而非封闭，体现在资源共享、合作互助、智慧碰撞、和而不同、力求大同。在主题沙龙活动中，教师个人抛出问题，群体分析问题，形成教学研究课题;研究与实践同行，研究者与同伴合作，发挥集体智慧，最终解决问题。

3.科学性。教育是一门科学，科学的价值在于求真。从育人角度看，教学课题研究与自然科学的课题研究有着明显区别，要求研究者不能草率从事;课题选择要谨慎，操作程序要文明，遵循“立德树人”的原则，促进所有学生成长和发展。

科学性表现为三方面：（1）系统性。第一个案例中，教师所抛的问题，有些问题的性质是相似或相同的，通过分析，可以把有联系的问题整合在一起，提炼主题。换言之，课题是问题的系统化。系统化避免了研究的碎片化，也避免研究中出现顾此失彼的现象。（2）持续性。课题是问题的解决行为，是持续不断的尝试，因而课题研究不可能一蹴而就。從一个课题的产生到问题的解决，需要经历“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”的过程，当一类问题得到解决，新的问题也会产生，这需要循环滚动研究。正是由于研究者有“咬定青山不放松”的探索精神，才使问题得到更好的解决。如《教师教学行为有效性的实证研究》从立项到结题，历时三年多，期间两次调整研究方案。（3）计划性。课题是有预期、有措施、有结果的研究项目，研究项目是要设计的。设计就是针对具体的研究问题，提出假设。从某种意义上说，课题研究就是为了验证假设。从课题研究的阶段特征来看，提出问题阶段是提出假设，选论点;分析问题阶段是验证假设，找论据;解决问题阶段是解释结果，做论证。由此可见，假设对研究者的操作行为起导向作用，假设的科学性直接影响论据的搜寻，决定问题的解决与否。但提出一个具有前瞻性、富有价值性的研究假设是要经过一个过程的，需要在研究中不断修改和完善。

（二）课题研究要植根于教学实践

问题是人们在认识现实世界客观事物的过程中所产生的认知冲突，认知矛盾是研究的动力。教师在教学实践中会遇到各种各样的问题，这是课题研究的原始动力，也是开展主题研究的起点。研究主题应该由教师最棘手的教学问题提炼而成，研究主题的设计必须与教学实践密不可分，是要解决教师自己的问题、真实的问题、实际的问题。主题沙龙活动所提问题及其引发的课题研究是很好的范例，说明了“课题源于问题，又高于问题”。

1.“课题源于问题”——要求研究者从教师的日常工作和学习中寻找问题。教育教学实践是问题的首要来源。教师几乎每天都与学生打交道，教材、备课本随时陪伴左右，工作看似平静，实则有很多问题随时困扰着教师，要求做出解答。对一线教师来说，从事实践研究是最合适的选择，把自己在实践中生成的问题作为研究对象，这与自身的知识背景、研究能力、研究时空相匹配，能充分发挥自身优势，也有利于课题研究成果的回归应用。因此，教师要养成向日常教育生活询问、发问与追问的意识和习惯，关注日常教育生活中的“具体事件”和“小问题”;同时要积极体验、感悟教育教学的意义和价值。唯有这样，才能发现问题、梳理出有价值的问题，进而形成研究课题。

2.“课题高于问题”——要求研究者筛选问题，提炼主题。在日常教学和学习中搜寻到的问题，只是原始素材，并非所有问题都能成为研究主题。问题能否适合做课题研究，需要筛选和提炼。面对搜集的广而散的问题，首先要筛选归结：我们遇到的是什么问题？主要表现在哪几个方面？是普遍性的问题还是特殊性的问题？出现问题的可能原因是什么？各原因之间是否存在关联？教师只有围绕这些问题，并对问题进行筛选，选定需要研究的问题，再根据“研究范围要适中、研究难易要适度、主攻目标要明确”的选题要求，对选定的问题进行主题提炼，才能形成有意义的、切实可行的课题。

作者简介：蒋依宝（1962— ），浙江临海人，大学本科学历，高级教师，浙江省特级教师，临海市教育局教研室小学数学教研员，研究方向为小学数学教学中“生活化教学”的实践与研究、小学数学教学过程“问题化”的实践与研究。

（责编 黎雪娟）