来洪江

摘要：以模型思想为理论依据，以一道教师竞赛题为例，展示了利用几何模型解决问题以及问题的延伸、拓展、思考过程，并由此引发利用几何模型解题的思考，为学生学会有逻辑、创造性地思考奠基。

关键词：线索;几何模型;思维;核心素养

《数学课程标准（2011年版）》指出，在数学课堂教学中，应注重发展学生的模型思想。下面以一道竞赛题为例，以模型思想为理论依据，浅谈利用几何模型的解题教学及思考。

原题（2019年杭州市教师数学竞赛试题21）：锐角等腰△ABC，AB=AC，以A为圆心，AB为半径作圆。M为AC的中点，BM与⊙A交于G，过B作BH⊥CA于K，并与⊙A交于H，若AC交GH于X，证明：AX=2AC。

一、对解法的探索

波利亚的“怎样解题表”的第一步就是理解题意，目的在于通过对题目的整体分析，把握题目的条件和目标;通过对题目中某个特征性条件进行联想和思维发散，去寻找数学中常用的、相似的、已经解决的问题模型，接下来只要在这个待解决问题和已解决模型之间搭建一座桥梁，转化问题、解决问题即可。这种解题策略可以缩短学生的思维路径，使得问题得以尽快解决。

（一）线索1：点B在哪里？

分析题目，当BA⊥AC时，即A，K重合，此时，BH变成了直径，所以，当BG⊥HX，易得△ABM∽△AXH，由AM∶AB=1∶2，得AH∶AX=1∶2，即AX=2AC。从特殊图形蕴含一般问题的思维角度出发，只要证明△ABM∽△AHX，原命题就可以得证。要证明两个三角形相似，已有∠BAC=∠HAX，只需证明∠AHX=∠AMB，又因为∠AMB=∠MBC+∠BCA，∠BCA=∠ACH=∠AHC，∠GBC=∠CHG，所以∠AHX=∠AMB，命题得证。

特殊化思想是指对于某个具有一般性结论的数学问题，先研究它的特殊情况，即把研究对象从全体转变为属于这个全体中的一个或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答。……