陈彩华

摘要：为转变学生的学习方式，围绕“学为中心”的教学观，践行睿智数学教学主张，文章结合教学实践，对一次函数的一个最值问题进行了拓展与应用研究。文章从一个问题、两种解法、三类变式、四点思考四方面展开分析，对学生发现问题和分析问题能力的培养做了尝试。

关键词：教学改革 函数 最值问题

通过图表，使学生能从中观察审视函数，有利于更好地认识函数，提高学生对一次函数斜率的几何直观认识。“没有思路就没有出路”，培养学生解决问题的过程实质上在于引导他们找出解决问题的有效方式与方法，使学生能从动态与静态角度来观察审视函数，这有利于学生更好地认识函数。

一、问题

已知：点（x，y）在如图1所示的正方形的边上运动，求s=y-2x的最大值和最小值。

旨在激发学生换位思考，让学生明白任何一个代数式子的背后往往有它的几何意义存在。

如果我们暂时将s当作常数来认识，那么s在一次函数中起到截距的作用。现在我们又让它还原本色，s是一个可变化的截距，看会在什么范围内变化。

这种方法旨在渗透数形结合思想，强化数型结合，让学生感受s变化的规律，体悟代数式背后的几何意义。

对于y=kx+b，当k不变时，与6对应的所有直线都相互平行。所以我们通过画图可以看出，当直线y=2x+s经过点（-1，0），（1，0）时，相应的截距分别达到最大值和最小值（如图2）。所以我们直接将点（-1，0），（1，0）代入直线y=2x+s解析式，就可以求得s的最大值与最小值。

2.二类变式如下

（1）變式一

让学生能通过改变点（x，y）的路径，编制一个类似的问题。

学生提供的问题：

①点（x，y）在菱形的边上运动，求s=y-2x的最大值和最小值。

（其他学生还补充了平行四边形、矩形）

②点（x，y）在等腰梯形的边上运动，求s=y-3x的最大值和最小值。

③点（x，y）在线段上运动，求s=y-x的最大值和最小值。

④把线段改成双曲线段，其余不变。

⑤把线段改成抛物线段，其余不变。

⑥把线段改成圆，其余不变。

（针对学生可能对端值上取到最大值或最小值存在误区，笔者又设置了两个问题）

（2）变式二

教师给一个问题引领：

点（x，y）在如图3所示的双曲线段上运动，其中A（2，3），B（3，2），求s=y+x的最大值和最小值。

学生讨论给出类似问题：

①点（x，y）在如图4所示的抛物线段上运动，其中A（-3，0），B（1，0），抛物线段顶点纵坐标为-4，求s=y+2x的最大值和最小值。

学生通过小组讨论发现，S最大在点B取得2，最小在点（-2，-3）取得-7，

即：-7≤S≤2。

提出问题：你能归纳出何时一定在端点取得最值，何时有最值不在端点取得吗？

②点在线段上运动时，最值在端点取得，点在曲线上运动时往往有一个最值通常不在端点上。

教师说明：其实学生提出来的点在圆上运动与双曲线、抛物线一样可求，待我们到高中进一步学习。

设计意图：让学生对端值取值的情况重新做了认识，点在曲线上运动时，端值未必取到最值。

归纳：这类问题通常有两种解法：一是代数方法：化归函数，即已知自变量范围，求函数的取值范围或最值;二是几何方法，即经过换位思考，视s为截距，转化为在给定条件下求s的取值范围或最值。

二、四点思考

教育家陶行知说过：“创造始于问题，有了问题才会思考，有了思考，才有解决问题的方法，才有找到独立思路的可能。”通过对案例实践的反思，笔者认为培养学生发现问题和分析问题的能力可以从以下四方面着手：

1.引导学生重视数学思想，掌握思维方法

案例中学生的回答就是根据式子和图形的特点，运用分类讨论的思想和转化思想，对问题有初步的思考方法。将s与两个变量x，y的关系转化为s与x或者s与y的一次函数关系，回归函数定义，为问题的解决提供关键性的一步。

数学思想在人的实践活动中产生，并且成为人们认识世界和改造世界极为重要的工具，是问题解决的灵魂。所以要培养学生用数学思想方法去分析、思考、发现，这样解决问题更有针对性和实效性。

2.引导学生善编善变，促进灵活多变

案例中，当学生回答完毕后，笔者有意识地让学生自己编题，目标是改变点（x，y）的路径，编制类似的问题，使学生对问题的本质有更深刻的理解，实现做一题懂一类的目的，大大提高学习效率。

所以让学生自己参与问题的设计，或改变条件，或改变结论，从而更好地挖掘问题的生长点，获得问题解决的通性通法，可以促进学生发现问题、分析问题和解决问题能力的进一步提升。

3.引导学生换位思考，突破思维定式

平时教学中，我们可以有意识地适当调整视角，使问题中的元素进行“角色换位”，让学生从不同角度审视问题，实现已知与未知、常量与变量、相等与不等、特殊与一般、局部与整体、数式与图形、运动与静止等的转换，突破思维定式，获得新的解决问题的思路和方法。换位思考也有利于教学内容的深化和延伸，有利于培养学生的探究意识和创新能力。

4.给学生创造自主发挥的机会

在“学为中心”教学理念指引下，在案例最后笔者设计学生自己编题一环，方向是s为定值、k可变的一类题型，并由学生自己解答，完成后进行小组交流共享。根据学生的学习能力等情况，成立合作小组，把学习主动权交给学生，让学生互相合作交流，在自主环境中有更多时间和空间尽情畅想。

三、总结

在培养学生问题分析能力的过程中，我们应该努力做到“六让”：特征让学生观察，思路让学生探索，方法让学生寻找，意义让学生概括，结论让学生验证，规律让学生发现。只有这样，学生的数学思维能力才会不断得到强化，从而有效发现问题并解决问题，逐渐接近数学问题发现、分析与思考的最高境界。