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基于学生能力发展的 初中数学复习课实践探索

2020-09-10陈国兴陈惠增

数学教学通讯·初中版 2020年8期
关键词:演变实效感悟

陈国兴 陈惠增

[摘  要] 文章从课堂教学的实用性角度来探讨目前复习课堂中的突出问题,并从课本中的基本图形、基本模型以及数学活动出发,以点带面,整合提升,把部分零散的知识点串联成整体的问题串,以达到提升数学复习实效性与有效性的目的.

[关键词] 复习;实效;感悟;变式;演变

数学复习课对于初中学习来说是一个重要的课型,是教师为了不让学生所学的知识遗忘而进行的数学课堂活动之一. 课堂复习的目的是让学生所学的知识得到巩固、解决问题的能力得到提升,并站在更高的角度思考问题,因此它的重要性不容小觑. 一节效率高的数学复习课要巩固所学知识,优化解题方法,渗透数学思想方法,提升解题效率. 下面,笔者针对复习过程中的一些问题与困惑,谈几点探索与创新的尝试.

问题的提出

多数数学复习课采用教师为主的课堂模式,教学顺序基本按照“知识点罗列——例题讲评——练习巩固”的方式进行. 这样的复习模式优点虽然较多,但具体的教学中却发现学生的收获很少,课堂中忽视了学生的主体地位,忽略了学生是学习的主人,而且知识的呈现过于直接,呈现的方式都是点状的,无法以点带面,缺乏知识来源过程的领悟;解题方法比较单一,缺乏总结、缺少深度. 这样的复习课教学模式局限于老、旧例题的反复出现,以及关键知识点的顺序罗列,容易陷入“题海”,容易让学生觉得课堂乏味,而且课堂的收获较低,不利于学生能力的培养以及数学素养的提升,复习效率低下.

提高数学复习实效的探索

新课程理念下的数学复习课教学过程,应注重学生在课堂教学过程中的主动参与和积极探索,应引导学生感悟解题方法,发现并挖掘重要知识的内涵与外延、变式与拓展,指导学生总结与归纳结论和方法,演变与创新教材中的数学活动资源,鼓励学生一题多解、一问多思、一图多变、多图化一、多解归一,使所有教学内容的应用性与实用性都得到落实. 要注重学生课堂学习的状况,形成学生内化的知识结构和内生的意识能力,把提高学生解决问题的策略当成课堂的总要求,促进其思维能力、数学素养等方面的发展.

1. 发现并挖掘核心知识、核心问题的内涵

数学复习课应让学生主动参与知识梳理的过程,发挥学生的潜力,让其带着问题思考,感悟所学知识点之间错综复杂的关联,理清它们的区别. 初中很多知识点,其核心知识是相似的,学习方法也是相通的,这样的学习完全可以通过类比的方式完成. 如整数与分数、整式与分式、整式方程与分式方程、方程与函数等. 在教学中,教师应引导学生发现相通知识的内涵,感悟知识间的联系,揭示关联知识的本质,引导他们高角度高方位地看问题,挖掘知识背后的关键内涵.

比如,复习“二次函数的图像与性质”时,可以引导学生体验如下过程:

针对方程x2-3x+2=0,预设如下问题:

(1)要求出此方程的根,你有哪些方法?

(2)在不求解方程的前提下,可以判断这个方程的根的情况吗?

在以上两个问题的基础上,可以借助与之相应的函数的图像来解答如下问题:

(1)画出抛物线y=x2-3x+2与直线y=0的图像,观察两个函数图像的交点,你有什么发现?

(2)若变为抛物线y=x2-3x与直线y=-2的图像呢?

(3)若再變为抛物线y=x2与直线y=3x-2的图像呢?

(4)若改为直线y=x-3与双曲线y=-■的图像呢?

(5)进一步探究方程x2-3x+2-■=0与方程x2-3x+2-■=0的根的情况.

学生在积极主动观察图像的过程中发现方程与函数的本质是一样的,感受到了方程与函数之间存在着千丝万缕的联系,领悟到了一次函数、二次函数、反比例函数的图像特点与方程之间的关系. 通过多角度的思考,学生归纳、总结了解决此类问题的策略,同时对各知识点进行了相应的补充,最终提升了自己各方面的能力. 复习中多以互相联系的知识点为载体,能让学生不断地联想、感悟、体验,从而达到比较理想的学习效果.

2. 变式与拓展同一背景、同一模型的问题

复习课中,若再将新课所学的知识一成不变地重复出现,将不容易激发学生思维的火花,不利于调动学生参与课堂的主动性,学生会无法体验到学习的新鲜感与成就感. 因此,在教学过程中,应不断地对问题进行变式、拓展、整合,应将新、旧知识点串成问题串. 教师进行教学预设时,无法把握生成的结果,因此应关注如何整理复习资料,选择典型案例,激发学生积极参与课堂活动的热情,课后不断反思,使复习课堂的有效性得以保证.

如初中的最值问题可做如下变式拓展.

探究:(1)已知A,B两点在直线a的同侧,如图1,在直线a上找一点M,使MA=MB.

(2)若A,B两点在直线a的异侧,能否在直线a上找到一点N,使AN+BN最短?若A,B两点在直线a的同侧,能否在直线a上找到一点M,使AM+BM最短?

(3)已知A,B两点在直线a的同侧,能否在直线a上找到一点G,使△AGB的周长最短?

(4)已知A,B两点在直线a的同侧,能否在直线a上找到一点D,使DA-DB最长?

(5)已知A,B两点在直线a的异侧,能否在直线a上找到一点E,使EA-EB最长?

(6)已知A,B两点在直线a的同侧,请在直线a上找一点P,使△PAB是直角三角形.

(7)已知A,B两点在直线a的同侧,请在直线a上找到一点Q,使△QAB是等腰三角形.

(8)如图2,若把直线a看作x轴,建立适当的坐标系,问题将变得新颖.

以上问题以“两点一线”为背景建立模型,引导学生在变化的过程中发现基本的几何模型(如“K”形图,“X”形图). 复习时可以借助几何模型的结论,探讨解决基本模型的通性通法,从而利用几何图形的结论解决几何压轴问题. 对一些较常用的模型做变式处理,能引导学生归纳与总结某类题的通性通法,能激起学生强烈的参与热情与求知欲望,从而进行有效复习.

3. 指导学生研究归纳的方法

课堂45分钟的复习时间有限,所以课堂上应尽量避免出现下列情况:教师包办、学生独立思考时间短;练习量足够多,但解题能力却不见提升. 教学中,教师应指导学生研究、归纳解题方法,提升他们对同一系列问题的理解程度,同时在教师的指导下开展研究活动,让学生成为复习课中的主人,而不是观看者.

如复习平移、旋转、轴对称、位似这四个变换时,可以启发学生研究下列问题:

(1)先归纳点(x,y)左右平移和上下平移后坐标变化的规律,再研究二次函数图像的平移规律,以及一次函数、反比例函数图像的平移规律. 如二次函数y=3x2向左平移4个单位长度后的函数解析式是什么?一次函数y=3x向左平移4个单位长度后的函数解析式是什么?双曲线y=-■向左平移4个单位长度后的函数解析式是什么?

(2)再如旋转,引导学生先归纳一个点关于原点对称的坐标变化规律,再指导研究:若原点改为其他任意点呢?对称后的坐标应如何变化?若一个点绕原点顺时针旋转90°、270°后坐标应如何变化?你发现了什么新的规律?抛物线y=3x2的图像关于原点中心对称的图像是怎样的?解析式是什么?直线y=3x-2关于原点中心对称的图像是怎样的?解析式是什么?双曲线y=-■关于原点中心对称的图像是怎样的?解析式是什么?

(3)再如轴对称,引导学生先归纳一个点分别关于两条坐标轴对称的坐标变化规律,然后研究一个点关于直线y=x(或直线y=-x)对称的坐标变化规律.

学生在上述活动中不仅复习了这几个变换的特点和规律,更通过“函数图像的变换研究”对问题有了新的发现与认识. 这种“研究”方式将影响学生今后思考问题的方式.

4. 创新使用教材中实验观察与数学活动类资源

教材中各个章节后面都提供了“数学活动”“阅读与思考”以及“实验与探究”等资源. 近几年,各省市中考题经常将教材中的这些资源作为背景来命题,因此我们在复习时可以挖掘课后实验与探究以及数学活动的内容,将这些素材进行变式处理,从而深度理解教材,让学生站在更高的角度看问题,顺畅地进行数学探究活动.

如人教版八年级下册第63页实验与探究“丰富多彩的正方形”(稍做修改):如图3,有两个完全相同的正方形ABCD和正方形OEFG,且正方形OEFG的顶点O与正方形ABCD的对角线交点重合. 可以发现,不论正方形OEFG绕点O如何旋转,两正方形重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的■,请说明理由.

接下来,可对上述问题做如下演变与创新:

(1)旋转正方形OEFG的过程中,哪些量始终不变?

(2)如圖4,连接MN,GE,探究MN与GE的数量关系与位置关系,并说明理由.

(3)若AB=a,试探究两正方形重叠部分的面积S与a之间的函数关系式;重叠部分的周长会随着正方形的旋转而改变吗?

(4)如图4,设BN=x,△MON的面积为y,试确定y与x的函数关系式,并求出y的最大值或最小值.

(5)如图5,若改为点O与点A重合,猜想上述结论有哪些依然正确.

(6)若把上述两个正方形变为形状一样的两个正三角形或者正六边形,你会得到什么新的结论?

在以上探究活动中,教师应让学生体会任意正多边形在旋转过程中的不变性,体会动态几何中隐藏的“不变量思想”与“方程函数思想”. 教材中的很多材料都可以作为这样的素材进行变式与创新,体现了教材编写组独特的意图,以及数学课本独有的魅力. 教学中,我们应慢慢体会编写教材专家们的“编写初心”,领悟数学学习的本质内涵以及数学思维的发散本色.

反思与感悟

复习时切忌贪多求全,急功近利,要循循善诱,充分考虑到不同学生的个性差异以及认知结构,要关注复习过程中的知识关联,以及学生的能力提升,要努力反思学生的学习收获以及学习体验,及时引导学生去发现、去归纳,让问题在尝试和互动中生成. 我们要交给学生解决问题的思路与方法,要达到讲一题、通一类,使所有的解题策略达到“一通百通”的效果. 复习时,只要留给学生充裕的思考时间,让他们主动质疑、反思,领悟解题策略,领会数学方法,掌握数学思维,就能让他们在感受成功的同时体会学习的乐趣,养成勇于质疑、敢于创新的思维品质. 如讲解完一道综合题后,不要马上讲下一题,应留几分钟时间让学生反思,让学生从自己的视角来重新看这道题,这样他就会有新的发现;复习时应分段进行,复习完一段后,先让学生反思这一段的得失,总结方法,歇一歇,目的是为了更好地前行.

有效复习是一种教学理念,更是成功的方向,只要我们立足教材,抓住基本模型,对教材例题进行有效的变式,就会激发学生不断地进取与探索;为了提高数学复习的实用性与有效性,我们应该坚持以先进的教育理念为引领,大胆探索,勇于实践,不断改进,创新求变.

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