魏明逊

(昆明第三中学 云南 昆明 650500)

1 问题概述

在2019年1月13日，YouTube上的著名频道3Blue1Brown发布了一个非常有趣的视频(https://www.bilibili.com/video/av41712219/?spm_

图1 3Blue1Brown网站的Logo

这个问题的描述如下：如图2所示，在完全光滑的无限长平面上，有一个质量为M的滑块A以垂直于墙面的速度v0向墙运动，A和墙之间的连线上停着另一个质量为m的滑块B.假设系统所有碰撞均为完全弹性碰撞，且滑块可以看成质点.求解M和m的质量是什么样的关系才能使m碰撞的次数与π有一定的关系.

图2 碰撞模型

从离散的物理碰撞能够推导出一个无限不循环的数学常量，数学和物理有时会显现出令人惊讶的默契，这就是3Blue1Brown所说的Unexpected，冥冥之中蕴含着宇宙的某种设计.Gregory Galperin于1990年最早发现了这个结果，并于2003在论文Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)中公布这个问题，这是一个网红问题.但网上的各种解答数学味比较重，并且所有解答都是为了讨论与π的关系，对一般情景没有讨论，我们希望经过深入地分析让这道从物理中来的数学题重新回归物理的情景.

2 解决问题

设M以速度v0向右与m发生第一次碰撞后

(1)

MvM+mvm=P=Mv0

(2)

对式(1)(2)进行变形得

x2+y2=2E

(3)

(4)

分界线与x轴的夹角为θ，从初始点到点A1，对应的圆周角为θ，如图3所示可以看出相邻点之间的弧长相同，对应的圆周角为θ，圆心角是2θ，而全部圆心角加起来小于2π，因此碰撞次数N和θ的关系为

图3 碰撞点区域分析

N2θ≤2π

(5)

即N取整.

至此，N和π的关系就清晰了，最终提取的其实就是π10n的整数部分，这就是碰撞问题中隐藏的π与碰撞次数的关系.所有的网络解答都注重讨论M=100nm时呈现……