王宗信

我们对数的认识是不断深入的，同学们学习了自然数（零和正整数）、分数、负整数、负分数，知道了有理数的概念.本章将在有理数的基础上学习无理数（无限不循环小数是无理数，如π等），这样数的概念就从有理数扩充到了实数，实际上人类从发现无理数到正确认识无理数，经历了漫长、曲折的历史过程，相对于其他章的内容，本章内容虽说比较少，但都很重要，

一、从平方根、立方根去认识某些无理数

我们知道有理数的乘法法则是：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积仍为0.数x的平方运算记为X2，就是这个数x自己乘以自己，即x2=x·x.要分三种情况考虑：①x<0;②x=0;③x>0.因为负数的平方是正数，0的平方是0.正数的平方还是正数，所以任何一个有理数的平方要么是正数，要么是0.也就是说一个有理数的平方不可能是负数，即x2≥0.

我们重点讨论x2=a（a>0），那么符合条件的数x应该有两个，它们互为相反数（比如x2=g，x可以是3.也可以是-3），这两个数叫作a的平方根，记作±√a，其中正的平方根+ √a叫作正数a的算术平方根，并且二次根号“√ ”前的“+”可以省略不写，比如3是9的算术平方根，即√9=3.

在生活中，人们经常用多少平方米来表述建筑面积.同学们最熟悉的正方形的面积是边长的平方，如果正方形的边长分别是1.2，3，…，n，…，那么这些正方形的面积依次是1，4，9，…，n2，….如果正方形的面积是2，3，5，7，8等整数，那么它们的边长又分别是哪些数呢？

我们不妨具体研究一下面积为2的正方形，我们设其边长为x，则x是2的算术平方根，即x=√2、√3是有理数吗？如果它是有理数，那么一定是介于1和2之间的一个有理数，因为面积为1和4的正方形边长分别为1和2.下面我们来进行探索.

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得、√2=n/m，去分母得

√2m=n，两边同时平方得2m2=n2，显然2m2是偶数，则n2必然也是偶数，所以n是偶数.可以设n=2y，代人2m2=n2，得2m2=（2y）2，即m2=2y2，由此可以推出m也是偶数，这与“两个互质的正整数m.n”矛盾.所以√2不可以表示成一个分数的形式.不是分数就不可能是有限小数或无限循环小数，而且√2不可能是整数，

综上所述，√2不是整数，不是有限小数，不是无限循环小数.√2只能是无限不循环小数.

同学们可以仿照上面的方法来说明√3了也是无限不循环小数，试一试！

我们把无限不循环小数称为无理数.像√3、√5、√6、√7、√8、√9、√10√11、√12、√13、√14、√15、√17…

二、認识实数

有理数和无理数统称实数.

需要特别指出的是，当数的范围从有理数扩充到实数后，一个实数只可能是：整数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数.其中前三种都是有理数，第四种是无理数.这样数轴上每一个点表示的数要么是有理数，要么是无理数.也就是说，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数在数轴上都有唯一的一个点来对应，反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数，相应地，与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，

有理数中的运算法则同样适用于实数，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算.