翁玲玉 陈建国

[摘  要] 文章以“函数图像会说话”专题课为例进行教学探索，以问题为驱动，组织学生进行指向高阶思维的学习活动，让学生经历疑题引入、开放拓展、导学探究、变式评价的活动过程，来激活思维、开拓思维、延伸思维、创造思维.

[关键词] 高阶思维;问题驱动;函数图像;专题教学

根据美国著名教育家布卢姆对认知过程的划分，数学界将数学高阶思维的初步定义如下：数学高阶思维，是指在数学活动中发生的较高认知水平层次上的心智活动或认知能力. 杜威认为反省思维是一种高阶思维，并且提出了“思维五步”[1]. 钟志贤教授指出，分析、综合、评价和创造是高阶思维在教学目标中的分类表现，认为高阶思维主要由创新能力、问题求解能力、批判性思维能力和决策力构成[2]. 由此可见，数学高阶思维能力分别由问题解决能力、探究能力、推理能力、构思能力和创造能力等构成.

问题驱动课堂是以学生为中心、以思维为核心、以问题为主线的“两心一线”三个关键要素，将“内容问题化，问题思维化，思维实践化”，培养学生的高阶思维能力. 笔者在“函数图像会说话”一节的教学中，以问题为载体，不断丰富问题背景，在问题驱动下进行探究，组织学生进行指向高階思维的学习活动，让学生经历“问题思考——问题分析——导学交流——判断质疑——评价创造”的高阶思维过程，主要从以下方面来进行实践：疑题引入，激活思维;开放拓展，开拓思维;导学探究，延伸思维;变式评价，创造思维. 促使学生通过问题驱动下的课堂实践，使学生的高阶思维能力得以提升.

问题驱动下指向高阶思维的课

堂实践

1. 疑题引入，激活思维

问题1  某飞机着陆后进行滑行，滑行路程s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系为s=60t-1.5t2，问：着陆后滑行多长时间该飞机才能停下来

教学片段：

（学生通过画图，思考片刻……）

生A：画出图像，如图1可知，滑行40秒后才能停下来.？摇？摇？摇

师：善于通过函数图像来解决问题，这非常好！40秒滑行的路程s是多少米？

生A：t=40时，s=0，感觉不太对劲，呵呵.

生B：应该是20秒后才能停下来.

师：为什么？

生B：根据实际，A同学的图像错了，应该取函数图像对称轴的左边部分.

师：真棒！由此可见，函数图像确实会说话，可以告诉我们很多信息，但图像首先要符合实际，同学们要重视这类“易错题”，要加大对这类“疑题”进行研究与反思.

设计意图  数学思维的起点和动力是问题，通过易错问题引入，可以激活学生的思维. 由于学生平时的错题资源很多，我们要加以选择. 错题释疑，让学生更容易被吸引并积极参与课堂交流. 本节课是“函数图像会说话”的教学复习专题，绕不开发展数形结合思想，图像的正确与否将直接影响学生的思维，教学中利用疑题引入除了激活思维，更为了警醒学生利用函数图像解题要符合实际. 另外，教师通过问题引导促使学生进行反思，出现思维冲突，产生怀疑，培养学生批判精神. 问题解决后及时引导归纳提炼，还能提升学生分析、归纳、反思的能力.

2. 开放拓展，开拓思维

问题2  如图2，圆柱形容器内水平放置着两个实心圆柱体组成的“几何体”，几何体的下方圆柱体的底面积为15 cm2，容器的底面积为30 cm2. 现向容器内匀速注水，注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图3所示，注满为止.

根据图像解答下列问题：

（1）圆柱形容器高为______cm;

（2）求匀速注水的水流速度（cm3/s）的值.

教学片段：

（利用足够的时间让学生自主思考后……）

师：哪位同学自告奋勇来谈谈你的思考过程.

生C：我观察坐标图的第三段末端点，题中有“注满为止”，故14 cm就是圆柱形容器的高，但不知道水流速度的公式.？摇？摇？摇

师：分析得好. C同学，注意“cm3/s”为水流速度的单位，想到了什么？

（生C似有所悟，刚要回答，被生D急切抢答）

生D：我知道了！水流速度应该是单位时间内流出水的体积，而且第三段图像告诉我，水流速度为=5（cm3/s）.

师：真不错. 根据图像，同学们还能提出可以解决的问题吗？

（小组合作交流，学生进入思辨状态……）

生E：可以求a的值.

师：哪位同学来回答？

生F：下方圆柱体的底面积为15 cm2，水流速度为5 cm3/s，所以18×5=a（30-15），得a=6.

生G：可以求“几何体”上方圆柱的高.

生H：还可以求“几何体”上方底面积S……

师：嗯，哪位同学来求一下“几何体”上方圆柱的高和底面积S……

（学生跃跃欲试，很快就有了解决方法）

师：同学们真不简单！下面我们来总结一下，用函数图像来解决问题要对函数图像进行三看：一看轴、二看点、三看线，并且要关注图像端点与实际意义的“互译”.

设计意图  发展高阶思维的关键途径是让学生从“思考——分析——交流——判断——评价——创造”的过程中，达到思维的碰撞、交流、内省. 学生出现的“不解和疑问”或“一些困惑、混淆或怀疑”引发的暂时的思维不畅通，教师就要加以疏导. 开放拓展，就是倡导学生自主学习、提出问题，并通过小组合作等形式的学习方式进行思辨、评判，让学生体验问题提出的多角度、多样性，提高学生探究的积极性. 开拓思维促成学生的自我省思与策略调节，让学生经历综合分析、理解反思、创造评价，这是进行探究过程的核心收获，它将发展学生的高阶思维能力.

3. 导学探究，延伸思维

问题3  对某教室内的饮水机开机加热，水温每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，下降至30 ℃进入自动加热阶段，重复上述自动程序. 在水温为30 ℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图4所示. 为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50 ℃的水，则当天上午的哪个时刻可以是接通电源的时刻（？摇     ）

A. 7：20 B. 7：30

C. 7：45  D. 7：50

教学片段：

（学生思考与操作良久，没有头绪，于是笔者开始导学）

师：同学们，老师接下来帮助大家进行思考，首先……

导学1：当第一次水温为100 ℃时的该点的坐标是什么？当水温第一次降至30 ℃时，该点的坐标是什么？

生I：开机加热时水温每分钟上升10 ℃，由图像告知100-30=70（℃），70÷10=7（min），故水温为100 ℃时的该点的坐标是（7，100）. 从而得直线与反比例函数的解析式分别为y=10x+30与y=. 当第一次降至30 ℃時，该点的坐标是，30.

导学2：从第一次开始加热到水温降至30 ℃，这个过程中水温不超过50 ℃的时间范围是多少？大家一起小组合作交流与探究.

（经过讨论，答案逐渐明朗）

生J：如图5，水温不超过50 ℃的时间范围为0≤t≤2或14≤t≤.

导学3：从第一次开始加热到水温降至30 ℃，需要多少时间？接下来是不断循环这个过程吗？如果从0：00开始加热，经过700分钟的时刻水温是否符合要求（不超过50 ℃）？怎么思考？大家一起小组合作交流与探究.

生K：由y=10x+30与y=可知，当第一次降至30 ℃，点的坐标为，30，得出min，为一个循环周期，700分钟刚好为30个周期，符合要求. 但我还是不能解决原题，没有思路.

师：好的，接下来再看看下面问题的第一问.

导学4：第一问，如果从0：00开始经过701分钟的时刻水温是否符合要求（不超过50 ℃）？第二问，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的7：20吗？

生L：明白了，701分钟是30个周期余1分钟，余数在0≤t≤2或14≤t≤范围内，所以符合要求;7：20-8：45为85分钟，85÷=3+，3个周期余个周期，×=15分钟，符合要求，故选A.

师：真棒！其实第三小问与第二小问的区别就在题中的条件“重复自动程序”（周期），那么用图像来刻画，我们只要画一条直线y=50， 关注图像中的交点与该线上方与下方，显然这些在直线 y=50 的下方的图像对应的都是水温不超过 50 ℃. 所以，函数图像中的交点与线上、线下能告诉我们解决问题的思路. 同学们，还有其他方法吗？课外试一下……

设计意图  “问题导学”是以核心问题为主线，解决问题为基石，引领学生在发现问题、生成问题、解决问题过程中掌握知识、技能、方法，形成自主学习能力，激发学习数学兴趣，促进学生高阶思维发展. 通过问题导学，以问题解决为重心、师生围绕“导学问题”而开展自主合作探究学习为主要特征的思维课堂充分得以开展. 本环节中的4个导学问题为学生解决问题而导，核心是“学”，关键在“导”. “问题导学”有效性不仅需要教师关注如何创设“问题”，引领学生解决问题，还要关注如何启发学生发现问题，表达自己的困惑，让学生也能提出“问题”，真正使问题引导学习，问题驱动学习. 导学探究，能加大思维延伸力度，使课堂教学指向高阶思维.

4. 变式评价，创造思维

问题4  如图6，甲在离地2米的A处将排球发出，球沿着抛物线的一部分运行，当球运行到离他站立地方的水平距离为6米的地方时达到最高高度h米. 已知球网与发球点O的水平距离为9米，高度为2.27米，球场对面的边界距O点的水平距离为18米，以点O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，当h=3的时候，球能过网吗？请说明理由.

教学片段：

（有了前面的教学，学生很快有了解决问题的办法）

生M：根据题意，h=3，设该抛物线为y=a（x-6）2+3，且过点（0，2），得出抛物线y=-（x-6）2+3 . 取x=9，代入抛物线方程得y=2.75，大于2.27，故球能过网.

师：嗯，不简单. 题干不变，对问题进行如下变式.

变式1：若球一定能越过球网，求h的取值范围.

生N：根据题意，设该抛物线为y=a（x-6）2+h，且过点（0，2），得出a=，抛物线为y=（x-6）2+h. 取x=9，代入得y=（9-6）2+h>2.27，故h>2.36.

变式2：若球既能越过球网，又不出边界，求h的取值范围. （小组合作交流）

生O：在h>2.36的情况下，y=·（x-6）2+h，取x=18代入y=（18-6）2+h<0.

生P：不对！应该是y=（18-6）2+h≤0，解得h≥，在h>2.36的情况下，h的取值范围为h≥.

变式3：在实际情况下，人发球后球的飞跃最高点不会超过8米，要求球既能越过球网，又不出边界，则人应该在何处发球？（课后研究）

……

设计意图  变式是数学的魔方，变式是创新的训练场. 变式促进交流与评价，是一种再创造，带领学生在解决问题的过程中培养高阶思维. 美国著名数学家波利亚就指出：发展学生的解决问题的能力是数学教育主要目的之一，尤其是在变换不同背景下的问题理解与分析能力. 其实变换不同背景就是“变式”. 改变就题论题的课堂，促进学习者通过变式解决问题能力的表现，已经成为学生创新能力强弱的标准之一，应该得到数学教育工作者的高度重视. 另外，课堂的延伸需要引导学生进行课后研究，给出一个变式让学生在函数图像环境中继续探究，让学生对问题解决方法的再认识和再创造，也是高阶思维的培育的手段之一.

问题驱动下指向高阶思维的思考

1. 问题驱动、问题选择与创设是前提

问题驱动是以学生为主体、以选择与创设的问题为学习起点，围绕问题解决推动学习内容，让学生在问题寻求解决方案的同时提升思维能力. 心理学家指出，“问题”是思维活动进行的原动力和牵引力. 叶澜教授曾提到“驱动学生思维的有效载体是好的数学问题，新基础教育成功的关键指标之一是老师们关注数学课堂教学过程中的问题设置”. 为了让学生更好地回顾旧知、更好地发展数学高阶思维、更好地完善自我学习品质，就应该选择与创设“好的数学问题”. 所以我们说，初中数学专题课堂都有它的知识呈现与生成、数学思维训练以及价值体现，这些都需要问题驱动. 数学课堂是问题的课堂，是有效学习的课堂. 正是这样，选择与创设数学问题是非常关键的，对于学生来说，需要的是有效的问题驱动，一堂有效的数学课堂教学，一定是有效问题组合体的进行曲.

2. 高阶思维，过程启发与引导是关键

高阶思维能力的培养是一个过程，要通过学生产生同感、共情、猜想、探索、批判、思辨、创新、评价来展现高阶思维. 它的行为表现也往往需要学生在问题理解与问题分析、策略探求、猜想比较、结论判断、后期验证的基础上更深层次地对知识理解、推广与运用，这需要教师的启发与引导. 由于问题驱动就是“问题教学”，“问题教学”的基础在于思维活动的启发与引导. 因此，教师就是思维的“唤醒者”，唤醒的过程就是学生思维能力不断提升的过程，伴随着高阶思维能力的发展. 本案例教学证明，通过启发与引导助力问题解决、利于学生思维生长.

3. 专题课堂，注重内化与反思是期待

在专题课的教育教学中，教师要注重内化与反思，舍得留出一定時间让学生大胆尝试解决问题，适时引导，期待找到问题的核心内容与方法所在，挖掘思维深度. 这需要进行学习方式的变革，提倡探究式、问题解决式、自主学习、合作交流等学习方式. 特别是探究式，因为探究尝试的过程，就是发展高阶思维的过程. 解决问题后应留时间让学生进行内化，因为内化的过程，就是自我提升的过程，要将探究策略与经验内化为自己的数学素养. 学生学习能力发展是专题课的着眼点，让学生通过课堂学习，创新数学思维方式，积累解决问题的方法，并不断进行反思. 反思是一种学习品质，它将促成优化意识的提升[3].

高阶思维能力的培养是细水长流、潜移默化的过程. 本文仅仅以“函数图像会说话”的专题教学为例，在问题驱动下指向高阶思维的课堂实践进行了一次整理与反思，希望起到抛砖引玉的作用，期待更多的数学教育教学工作者进一步深入研究.

参考文献：

[1]任樟辉. 数学思维理论[M]. 桂林：广西教育出版社，2003.

[2]林崇德，胡卫平. 思维型课堂教学的理论与实践[J]. 北京师范大学学报（社会科学版），2010（01）.

[3]夏培培. 以问题为“驱动”发展学生数学高阶思维能力——以“几何最值问题”的专题探究为例[J]. 中学数学，2019（06）.