沈俊

[摘  要] 无论是数学教学还是复习迎考，习题讲评在高中数学教学中都处于十分重要的位置，它是知识技能的综合，它是知识水平的升华，它是解题能力的体现，它是思维能力的展现. 文章详细记述了多个例题的解析过程，教师从思维过程的暴露、多元表征的重视、解题方法的归纳等三个方面入手，发展学生的思维品质.

[关键词] 高中数学;习题讲评;思维品质;提升

习题讲评是高中数学课堂教学中的重要组成部分，习题的有效讲评成为教育工作的重心，可以充分激发学习的积极性，有助于学生思维能力的提升.基于数学核心素养的数学教学，不仅是模仿和记忆，更需要的是思维和感悟，数学思维能力作为核心素养中首屈一指的素养，是数学教学的本源需要，是问题解决的需要. 因此，在习题讲评时教师需将思维的提升置于首位.那么如何解决这一难题呢？笔者通过本文进行了方法的探究和思考.

暴露思维突破思维障碍

在数学习题讲评中，教师需强调学生的主体意识，同时发展学生的探究精神，让学生充分暴露自身原有的思维过程，这样一来，对于思维障碍的突破会起到出其不意的效果.当然，习题讲评中思维暴露的方法多种多样，如可以通过诊断性题目的讲解，或是引导学生对典型错误的讨论，让学生在表达和探讨中充分暴露思维过程，达到突破思维障碍的目的，也在一定程度上可以有效防止消极思维定式的形成.

例1：已知二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），那么+的最小值为________.

这是一道得分率较高的填空题，全班做错的学生寥寥无几，在试卷讲评的过程中，笔者请学生讲解一下自己的解题思路，而結果却出乎意料，尽管学生都可以解出正确答案，而解题思路却是漏洞百出.以下为一名学生的解题过程：

因为二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），则有f（x）≥0，所以Δ=16-4ac≤0，则ac≥4.

所以+≥+=+=.

因为ac≥4，所以a2+c2≥2ac≥8，a+c≥2≥4，所以≥=，故最小值为.

通过学生解题过程的展示，可以发现以下两处错误：

（1）f（x）的值域为[0，+∞），有Δ=16-4ac≤0. 此处不难看出，这是典型的思维定式下给出的解答，当学生看到f（x）≥0就想当然地认为需遵循f（x）≥0恒成立，从而运用“二次不等式恒成立”这一知识点来解答，致使这样的错误出现.当将此错误指出的时候，该学生满是惊讶，想必已经被此思维定式造成的错误困扰多时.本题中f（x）的值域为[0，+∞），则可以转化为f（x）的最小值=0，即ac=4.

（2）从ac≥4，a2+c2≥8，a+c≥4，可得≥，此处是源于不等式性质的应用错误导致的.而很明显，这一错误的根源在于学生在解答到这一步的时候突然找不到突破口，于是乎就将数字直接代入，反正填空题也仅仅是呈现结果而已，对过程并无要求.

还有其他错误吗？从其他学生的答案中才知道，还有一些学生得出ac=4之后，居然将a=c=2直接代入并求出结果，问及这样解答的原因时，学生都不知所措.

以下为本题的正确解题过程：

因为f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），所以a>0，所以=0，即ac=4. 所以+=+==-.

因为ac=4，a>0，所以c>0，a+c≥2≥4，从函数y=-在[4，+∞）上单调递增，可得-≥，故最小值为.

教学经验丰富的教师在进行习题讲评时，会鼓励学生去讲解和点评，在畅谈思路中将其真实思维过程尽数展示，从而便于思维障碍的有效突破.而很明显，以上案例中也正是通过思维过程的暴露，才最大限度地将学生的隐形错误挖掘出来，消除了思维障碍的延续.

多元表征优化动态思维

在解题教学中，若解题思路仅仅局限于单一型的思维模式，便无法培养学生的创造力. 多元表征对学生解题思路的形成具有极其重要的影响，它是学生解决问题的基石，也是解决问题中的信息储存与加工的有效表现. 多元表征可以有效拉长学生解决问题的思维长度，可以激活学生已有的知识体系，形成多种解题思路. 因此，在解题教学中，教师应充分诱发学生观察、发现、分析和联想，从而寻求多种途径解决同一问题的思路，并通过比较和归纳最终提炼出最优解法，发散学生的思维，优化学生的解题思路.

例2：设x，y∈R，证明：+>.

方法1：变形原不等式. 可以先将不等式左边视为动点P（x，y）与定点A（8，3），B（2，-5）的距离和，而后去求AB的距离，再根据“三角形的三边关系”即可得证.

方法2：沟通方法1，不难联想到椭圆的定义，设椭圆的半长轴为a，且A，B为两焦点，令+=2a，而2c=10，但有2a>2c，从而必定大于，得证.

方法3：联想“向量模的形式”，则可以想到用向量不等式进行求证. 令a=（x-8，y-3），b=（x-2，y+5），则有a+b>a-b=10>，得证.

本案例中，引领学生去观察、去思考、去联想，从而在全方位和深层次的思考中，打开了学生的思路，在最广阔的解题范围内应用几何不等式、椭圆和向量的相关知识进行解题. 通过以上三种不同的解题方法，充分展现了多变的解题思路，更具体呈现了数学思维的灵活性.让学生在思考的过程中，在对问题的辨析中，在不同解法的不断转换中，增强了思维的参与程度，提高了解题能力，使思维品质得到有效培养.

方法归纳提升思维品质

高中时期学生的学习科目众多，学生获取知识的途径较为单一，题海战术是高中教师实施解题教学的“惯用伎俩”，而在这个过程中，学生仅仅是围绕教师思维打转，无法形成自己的数学思考，甚至于不少学生会陷入一个误区，认定教师的解题思路就是最优方法，学生数学思考能力缺失. 因此，这就要求广大数学教师在学生的解题过程中，不仅仅是引导学生学会解题，还需引导学生去感悟和提炼解题过程中隐含的数学思想方法，学会去归纳、总结和提炼，让学生在习得数学知识技能的同时，获得数学思想方法，从而使学生能力的提升水到渠成.

例3：已知方程2sin2x-cosx-a=0有实根，试求出参数a的取值范围.

思路探究：学生经过思考，不少学生令t=cosx，从而将原方程转化为2t2+t+a-2=0，且t∈[-1，1]，则可以将原题转化为方程2t2+t+a-2=0在[-1，1]内至少有一个实根，试求出a的取值范围.

解法1：从t=，可得-1≤≤1或-1≤≤1，可得-1≤a≤.

此解法的关键在于三角方程向代数方程的转化.利用方程的根与范围，改造不等式，结合解不等式，终于获得突破，从而彰显了转化思想.而后，笔者适时追问：“还有其他解法吗？”学生跃跃欲试，最后达成共识，将原方程转换为函数，并在自主探究中形成了多种解法的精彩场面.

解法2：将原题转化为函数问题：求函数a=-2t2-t+2，t∈[-1，1]的值域，经过思考不难得出结果-1≤a≤.

该思路借助分离参数转化原题为求函数值域问题，很快奏效，进一步明确了方程与函数的关系.

解法3：将原题转化为：直线y=a与抛物线y=-2t2-t+2，t∈[-1，1]相交，试求出a的取值范围. 利用数形结合，又获得一解，得出结果-1≤a≤.

解法4：设将原题转化为：函数f（x）=2x2+x+a-2在[-1，1]内与x轴有交点，试求出a的取值范围. 结合函数图像，得出f（x）min≤0，f（1）≥0，解得-1≤a≤.

“数”上构“形”，让知识具体化和形象化，解决“数”的问题. 数形结合思想有效结合数学问题中的数量关系与几何图形，使“数”与“形”各展其长，架起逻辑思维和形象思维之间的桥梁，从而顺利、有效地解决问题.

此案例中借助一题多解，引领学生多方位、多角度进行思维活动，潜移默化中实现了数学思想方法的灵活运用，从而有效提高了学生的思维品质.

总之，数学是培养思维的科学，学生思维品质的灵活性、广阔性、深刻性等都需通过分析和解决问题表现出来. 当然，在习题讲评中培养学生的思维品质不是一蹴而就的，只有让数学思维始终浸润在习题讲评过程中，学生才能充分体会到数学本质，才能感觉到数学是富有魅力的，才能促进学生的数学思考，从而达到真正提升学生思维水平的目的.