余云娟

[摘  要] 教材，一科之本，课堂教学应“以课本为本”.文章以“圆的标准方程”为例，通过教学设计中的教学片段和教学思考，阐述教学过程中教师注重教材，挖掘教材的重要性. 整体把握教材，善于发现教材中的教学资源，合理地利用，引導学生一起探究、发现、论证. 真正落实新课改教育理念，提升学生的数学核心素养.

[关键词] 挖掘教材;数学核心素养;数学运算;数学抽象

中学教材凝聚了几代专家、学者的集体智慧和结晶，研究并充分挖掘其内在功能的教育教学价值，是一线教师责无旁贷的任务，是提升教师教育教研水平的必由之路. 对于数学教师，我们在新课教学中需把握好两个层面，教好教材与用好教材，用好教材的前提是深入理解教材. 而现实教学情况却不容乐观，由于现在教辅资料满天飞，习题资料数不胜数，有些数学教师可能不会注重研读教材，更不用说会深挖教材，通过教材的表面看到数学的本质. 本文通过《圆的标准方程》为例，阐述如何在新课教学过程中，研读和深挖教材，采用多种途径，落实新课程标准理念，提升学生的数学核心素养.

背景描述

《圆的标准方程》是人教A版《数学2》（必修）第四章“圆的方程”第一节. 教学重点是圆的标准方程的推导过程及圆的标准方程特点的明确. 教学难点是进一步体验曲线和方程的思想，会根据不同的已知条件求圆的标准方程. 前一章节我们学习了直线方程，知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点等问题. 通过类比直线方程，在这一节课的学习过程中让学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力.

圆的方程属于解析几何的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，故本节课通过教材中的阅读材料引出数学家的唯美故事，引入新课，激发学生学习数学的兴趣. 教师通过一题多解和多种变式，提升学生的数学抽象和数学运算核心素养;通过学生自己尝试编题，提高学生的发散思维和解决问题能力.

教学片段

片段1：通过教材中的阅读材料，引入新课

问题1：同学们有看过“百岁山矿泉水广告里的故事”吗？

学生：好像是关于一个唯美的爱情故事. （班里只有这一位学生举手，其他学生都面面相觑，并向他投来了惊讶的目光）

教师：这位同学回答得很正确，是关于我们一位伟大的数学家笛卡尔和瑞典公主的唯美爱情故事……，笛卡尔是解析几何创始人之一，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题，沟通了数学内部的数与形. 在我们的人教版数学必修2教材中，第111-112页的阅读材料中有介绍我们数学家笛卡尔，希望同学们课后去仔细阅读，进一步了解.

设计意图：《圆的标准方程》可以通过直线方程的类比，复习提问，直接引入新课;也可以通过生活中需要解决有关圆的实际问题，引入新课. 但这两种引入都觉得不够新颖，备课过程中可以说在引入的问题中思考了很久，后来通过翻阅教材，笔者发现教材中在直线方程章节结束处配有“阅读与思考”材料《笛卡尔与解析几何》. 笔者觉得用此知识点引入最佳，于是，就用一个非常唯美的故事——“百岁山广告里的爱情故事”引出笛卡尔直角坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究，揭露数学的本质——数与形的结合. 这向学生普及了数学史，同时在新课引入上显得生动、新颖，调动学生学习数学的积极性，感受数学的美. 接下来，笔者水到渠成地通过类比直线方程，提问和推导出圆的标准方程.

片段2：通过一题多解，提高学生数学运算核心素养，挖掘数学本质

问题2：已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程.

学生1：可以设圆的标准方程，用待定系数法求出a，b，r，从而求得圆的标准方程.

老师：这位学生回答得很好，那么还有其他的方法吗？

学生2：还可以先通过求出任意两条中垂线的交点来求得圆心坐标，再利用圆心到圆上的点的距离来求出半径.

老师：这位同学用了初中学过的圆的定义，利用几何法来求得圆的标准方程. 那么接下来我们分组分别用这两种不同的方法来求出圆的方程.第1、2大组用第一种代数法求解，第3、4大组用第2种几何法求解.

学生动笔快速解题，教师在教室来回走动巡视，必要时给予学生指导. 等大部分学生都已求解出答案后，教师选择两种不同方法的范本进行投影.

老师：同学们，这两位同学的解法过程和答案都正确吗？

学生：都正确.

老师：他们不但是正确的，而且写得很详细，非常好. 那么同学们，你们再仔细看看这两种方法的过程，还有其他的发现吗？

学生3：我发现第1种代数方法三元方程组化简后得到的二元方程和第2种方法中垂线的方程是一样的. 好神秘哦！

老师：这位同学观察得很仔细，很好.有谁能帮他解释一下吗？

学生4：我觉得在化简三元方程组的时候，用A点带入的方程与B点带入的方程相互作差，它的几何意义就是到A点的距离等于到B点的距离，我们初中已学习过满足这样条件的直线就是AB两点的中垂线. 同理用B点带入的方程与C点带入的方程相互作差，得到的就是BC直线的中垂线方程了. （其他学生都示意点头，恍然大悟，原来如此.）

老师：这位同学很爱动脑子，回答得非常到位.

设计意图：教材中此例题只用了第1种待定系数解法，没有引进第2种几何方法，笔者觉得教师在研读教材的时候，还要敢于适“度”地二次开发教材. 在新课的讲解上，教师应该引导学生多动笔，多计算，多思考，学生先行，教师断后. 这样既能提升学生数学运算核心素养，又能真正体现数学的思维性. 教学中我们追求一题多解，更要追求多解归一，联系是普遍的，我们要做的就是将这种隐含的内在联系挖掘出来，从而殊途同归，揭示数学的本质. 教师要帮助学生真正经历如下过程：将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.教师有义务帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法.

片段3：通过教材中例题的多种变式，培养学生数学抽象核心素养

变式1：已知圆心为C的圆经过点A（5，1），B（7，-3），且圆心在直线l：x-y-5=0上，求圆心为C的圆的标准方程.

变式2：已知圆心为C（2，-3），且截得直线x-y-10=0的弦长为5，求圆心为C的圆的标准方程.

变式3：已知圆心为C（2，-3），并且与直线3x-4y+7=0相切，求圆心为C的圆的标准方程.

设计意图：《圆的标准方程》第一课时，教材上安排了3个例题，例题1是已知圆心和半径，求圆的标准方程，并会判断某点是否在圆上，使学生更好地体验了“曲线与方程”的思想，加深了对圆的标准方程的理解. 例2是已知三点，求圆的标准方程，例3是已知两点和切线，求圆的标准方程. 这三个例题的讲解是为了让学生掌握圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，并会求圆的标准方程，突出重点. 而且教材中例1和例2中的圆的标准方程相同，例3的圆心不同，但半径与例1、例2相同.考虑到教材的这一安排，笔者就设计了用同一个圆的标准方程但变动不同条件的案例，变式1中线与圆相交，且圆心在线上;变式2中线与圆相交，引进弦长;变式3中圆与线相切.通过例题的变式，使学生在变量中能抓住本质，总结出求圆的标准方程的方法. 同时，可以引进多媒体技术，利用几何画板进行展示，让学生通过直观感知，培养学生从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构的数学抽象能力.

片段4：通过课堂上尝试编题，发散提问，巩固新知

问题3：同学们，你们会编写求圆的标准方程的题目吗？我们也尝试着给周围的同学出几道题做一做？

学生1：圆心在C（4，3），且经过原点，求圆的标准方程.

学生2：圆心在y轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3），求圆的标准方程.

学生3：边长为4的正方形，求其外接圆的标准方程.

老师：这三位同学的题都编得很好，我想第1和第2位同学的题大家基本上都会解答，但第3位同学编的题怎么解答呢？

学生4：我觉得这道题中圆的半径是2，圆心是正方形的中心，要写出外接圆的标准方程就得确定圆心坐标.

老师：这位同学思考得很对，怎么确定圆心坐标呢？

学生5：建立适当的直角坐标系，如果坐标系建得不一样，圆心坐标就不一样，其外接圆的标准方程也就不一样了. 我觉得这道题最好是以正方形的中心为原点，两条对角线分别为x轴和y轴. 建立直角坐标系，其外接圆的标准方程是x2+y2=8.

老师：這位同学解答得非常正确.对于纯几何没有坐标的题目，首先我们要建立直角坐标系引进坐标，接着才可以用坐标法来解决.

设计意图：本节课的重点是掌握求圆的标准方程. 通过前面例题的讲解和变式题的应用，相信不少学生会模仿编题，甚至有部分学生会编出高质量的试题.笔者觉得教师完全可以拓展教材，大胆地发散提问，尝试让学生自己编题自己做的环节. 一方面，学生通过自己出题，更好地体验了三个独立变量确定一个圆，会选择运用代数法或者几何法求圆的标准方程;另一方面，可以培养学生上课积极提问，发散思维，发展学生的数学思维能力，培养学生的探索创新能力.

教学思考

1. 重视教材中的阅读材料，积极引导学生去阅读

现在的学生平时很少翻阅教科书，可以说基本上不看，觉得书上没什么好看的，知识点少，例题简单，更不用说课后的阅读材料了. 教师在平时的教学过程中也不够重视，很少给予学生这方面的指导. 教材是由专家和富有实践经验的教师根据课程标准的要求、学科知识本身的规律，以及中学生的认知规律、心理发展水平精心编制而成的. 笔者觉得教师不仅自己备课的时候，要认真研读和挖掘教材，还要有意识地设置几个简单的问题，引导学生去阅读教材，特别是教材中的“阅读与思考”部分. 在《圆的方程》前后就有两处阅读材料，前面是《笛卡尔与解析几何》，后面是《坐标法与机器证明》，这两处阅读材料都很值得去读. 通过阅读，学生就能更好地了解数学史的发展，对伟大的数学家也会有更进一步的了解. 这既能丰富学生的数学文化史，又能激发学生学习数学的兴趣.

2. 挖掘教材，适当变式例题，促进思维发展

众所周知，教材中的例题都比较经典，教学过程中教师不应该仅仅照搬照抄教材中的例题，而是要认真研究每道例题，结合“探究”内容，可以挖掘不同内容之间潜藏着的有机联系，适当地进行铺垫、整合和变式. 通过例题的变式，学生能更好地运用已学知识来构建新知，从而让学生在数学学习过程中慢慢学会归纳数学方法，抽象数学问题本质.真正促进学生思维的深度发展，提升数学抽象素养.

3. 重视教材中的习题，善于挖掘教学资源

教材中的习题是数学教材核心内容程序化后的展现，具有针对性、典型性和示范性，既可以帮助学生理解所学知识，又有助于学生掌握数学思想方法. 教材中的习题表面上看很简单，但看似简单的内容背后却存在很多有价值的东西.现在有些高考题，就是由教材中的习题改编而成的，有些拓展性的知识在教材中也能找到影子. 如本节《圆的方程》第124页B组习题中有“已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，求点M的轨迹方程.”我们发现原来在这里有阿波罗尼斯圆的影子，教师完全可以在上完这节内容之后，从这道题引出和拓展阿波罗尼斯圆的知识“若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数k（且k≠1），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆”. 所以在习题、资料满天飞的时代，数学教师首先还是得注重教材，平时多翻阅、研读教材，善于在教材中发现“意外”教学资源，加以巧妙、合理地利用，引导学生一起探究、发现、论证，促进师生共同成长.

结束语

教材的教学价值需要教师用心去挖掘. 新课程理念下，希望每一位数学教师认真研读教材，深入挖掘教材中真实而鲜活的隐性内容. 我们应该“以尊重的态度、欣赏的眼光、脚踏实地的精神，去亲近、理解、钻研教材，唯有如此，哪怕是一个概念、公式、定理，或者是一个旁注、思考题、习题等等，都能解读出别样的东西，感觉如品醇酒，回味无穷.”在备课过程中，不仅要把握教材的编写意图、编排体系，以及每个内容的具体教学要求，还要能够走进教材，反复揣摩教材中的每一道例题，每一个“探究”，每一个习题，甚至每一句话背后所蕴含着的丰富内涵，力争达到读透教材. 从而在教学过程中能整体把握和挖掘教材，通过整合和精心备课，实现学生探究和教师引导相结合，充分调动各方面的积极因素参与课程教学，真正落实“树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程”.