胡少希 孙 伟

(1. 南京市玄武区教师发展中心,江苏 南京 210016; 2. 江苏省泗阳中学,江苏 泗阳 223700)

在有心力作用下质点的运动是比较常见的运动,这类问题在竞赛考题中出现的频率很高,质点的有心力问题用力心为极点的极坐标系描述较为适宜.在极坐标系中物体的机械能满足

(1)

有心力作用下质点角动量守恒

L=mrvθ.

(2)

联立(1)、(2)式得

(3)

图1

例1.(国家集训队)如图1所示,在光滑的水平面上,一个劲度系数为k=3.0 N/m的轻弹簧一端固定于O点,另一端拴接一个质量为m=2.0 kg的小球,假设弹簧在无力作用时没有原长.若小球在弹簧作用下作匀速圆周运动,系统总机械能为E=12 J,现沿小球运动的径向给其突如打击,使小球瞬间获得一径向速度vr0=1 m/s,求此后运动过程中小球距O点的最近距离和最远距离.

解析:设小球受打击前运动的速度为v0,轨道半径为r0,则

(1)

(2)

联立(1)、(2)式得

(3)

小球受打击后系统能量为

(4)

代入数据得

E′=13 J.

(5)

有效势能为

(6)

由于径向打击不影响小球的角动量,故小球角动量守恒,即

L=mv0r0.

(7)

联立(6)、(7)式代入数据得

(8)

图2

作出有效势能图线,如图2所示.小球的径向运动满足E′≥Ueff,结合图2可知小球的径向运动范围在r1与r2之间,当E′=Ueff时,联立(5)(8)式得

(9)

由(9)式得

r1=1.63 m，r2=2.45 m.

(10)

分别为小球运动过程中距O点的最近距离和最远距离.

(1) 试问此子弹的运动是总在云里?总在云外?还是有时在云里,有时在云外?

图3

(2) 求子弹运动轨道的转折点离气体云中心的距离;

(3) 讨论子弹运动轨道的形状,并求其运动周期.

解析: (1) 在r≤R区域,子弹受到气体云团的万有引力大小为

(1)

在r>R区域……