张美琳 王良伟 陈仿

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验.本文以“平方差公式”为载体，让学生在发现问题、提出问题、探索与解决问题中，感悟数学思想方法、积累数学活动经验.

【关键词】四基;平方差公式;教学设计

宋乃庆教授称，“四基”是对“双基”的继承与超越，基本活动经验获得了与基础知识、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新课程对能力性目标、过程性目标、情感性目标的重视，以及对学生应用意识、创新能力培养的目标指向[2].张奠宙先生称，数学的四个“基”是不能分割的，没有单纯的知识，也没有脱离知识的技能，数学思想方法建立在知识和技能之上，但也具有独立的价值，而学生获得的数学活动经验是以上述三基为载体，贯穿于整个学习过程中的[3].因此在数学教学中，知识的获得、技能的训练、数学方法的提炼是通过数学活动的发展互相交叉渗透的.

数学教学设计是教师根据学生的认知发展水平和课程培养目标来制订具体的教学目标，选择教学内容，设计教学环节的过程[4].如何让学生在数学活动中发现问题、提出问题，在探索与解决问题的过程中，获得基础知识和基本技能、感悟数学思想方法、积累数学活动经验、有效提高数学素养，合理的数学教学设计显得尤为重要.本文以 “平方差公式”教学设计为例，加以说明.

一、教材分析与准备

（一）教材分析

“平方差公式”选自人教版义务教育教科书数学八年级上册第14章第2节[5].本节内容是在学习了有理数的运算、列代数式和整式的加减法与乘法之后，对特殊多项式的乘法更进一步的探索，符合学生的认知发展规律，从代数与几何两方面理解平方差公式的意义，体会从一般到特殊思想、数形结合等数学思想方法.平方差公式和后面的完全平方公式不仅为特殊多项式的乘法提供了简便运算，并且为后续相关知识如因式分解的学习奠定了基础.

（二）学情分析

八年级的学生正处于好奇心和求知欲强烈的阶段，并且已熟练掌握有理数的运算、代数式和整式的乘法，能用已有基本知识和方法分析和解决相关问题.但学生在计算多项式乘法时常常会遗漏某项或在确定某项符号时出错，并且缺少用数学的眼光发现问题以及用数学的思维提出问题的意识，同时，学生可能存在无法透彻地理解平方差公式本质的问题，也不能理解公式中字母的广泛含义.

（三）教学目标

知识与技能：掌握平方差公式;理解公式结构和其中字母“a”“b”的含义;理解平方差公式的几何意义;能运用公式进行简单的计算;会推导和证明平方差公式.

过程与方法：经历探究平方差公式的過程，让学生明确这一公式既来源于整式的乘法，又可用于整式的乘法;探索平方差公式的证明方法，体会数形结合与转化的数学思想方法;感受利用公式解决实际问题的便捷;尝试发现和提出问题.

情感态度与价值观：感悟平方差公式具有强大的简化运算的功能;体会数学与生活之间的密切关系，从而激发学生学习数学的兴趣.

（四）教学重点与难点

重点：理解平方差公式以及公式的结构特征，熟练地运用平方差公式进行简单计算.

难点：对公式中字母的广泛含义和公式的几何意义的正确理解.

（五）教学方法与用具

教学方法：讲授与讨论相结合，学生自主探究与演示相结合.

教学用具：幻灯片、黑板、粉笔、彩色卡纸、剪刀、磁铁.

二、教学过程设计

（一）创设情境，引出主题

麦麦和兜兜是一对好朋友，麦麦买了10.2 kg 9.8元/kg的糖果，兜兜迅速算出需付99.96元.你知道兜兜是怎样快速计算的吗？这实际与我们今天要学习的一个乘法公式有关.

【设计意图】生活中类似的情景很多，看似是一个简单的乘法运算，但这两数都是小数，计算起来比较麻烦.这里用它来引出课题的主要目的是激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的重要意义.

（二）学习活动一：复习演练，探索归律

请学生用多项式与多项式相乘的法则计算下列多项式的积，并以前后四人为小组讨论后面的问题.

（1） （x+1）（x-1）=;

（2） （m+2）（m-2）=;

（3） （2x+1）（2x-1）=.

问题1：等式左边的两个多项式有什么特点？

问题2：等式右边的多项式有什么规律？

问题3：你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？

问题4：对于上述归律，你有什么问题吗？

请一名学生分享讨论的结果，其他学生补充说明，最后教师带领全班学生总结归律，等式左边的多项式都是两项的和乘以这两项的差，右边是这两项的平方差，总结得出两项的和与这两项的差的积，等于这两项的平方之差，这两项分别用字母“a”“b”表示，结论符号化，这个公式叫做（乘法的）平方差公式.再用代数的方法也就是多项式乘法法则证明并板书过程.

最后引导学生发现公式的特征， 这实际是多项式乘法（a+b）（a-b）中p=a，q=-b的特殊情况，教师再进一步强调平方差公式的特点：两项和与这两项差的积等于这两项的平方差，其中等式左边有两个相同的项a，另外两项b和-b互为相反数，（这里称a为“相同项”，称b为“相反项”）等式右边是相同项与相反项的平方差a2-b2.利用该公式简化计算时，关键就要找出多项式中谁是“相同项”、谁是“相反项”，这里一般需要利用加法交换律变形之后来确定.如果多项式没有上述特征，则仍需用多项式的乘法法则进行计算.

【设计意图】在前面学生已学习了多项式的乘法法则，因此从学生已有的知识经验出发，选择合适的知识生长点.组织学生小组合作讨论这几个问题，一是学生之间可以相互校对计算结果，有问题的及时更正，有利于学生之间互帮互助，培养合作精神，更进一步地掌握多项式相乘的法则;二是对于前两个问题，学生是可以通过观察得出答案的，第三个问题则需要概括归纳，这样设计有利于培养学生从特殊到一般的数学思想，而问题4的设置有利于培养学生，用数学的眼光发现问题、提出问题并用数学知识分析问题、解决问题的能力.教师借助“相同项”和“相反项”，对公式的特征进行概括归纳，实现文字语言和符号语言之间的转化，促进发展学生的符号意识.

（三）学习活动二：合作探究，解决问题

问题1：你能用下面图形（如图1所示）的面积说明平方差公式吗？请同学们动手拼图、动脑思考，小组间合作交流、实践探讨.

改变图形的位置而面积不变，利用不同的表示方法得出平方差公式.请学生代表上台演示拼图过程， 最后教师再次用网络画板演示并讲解证明过程（如图2所示）.

问题2：现在大家能说出平方差公式的几何意义了吗？

请学生答，并利用追问的方式使学生自己逐步准确描述出平方差公式的几何意义：长为a+b、宽为a-b的长方形的面积等于边长为a的正方形减去边长为b的正方形的面积.这种利用面积相等来证明平方差公式的方法就叫做等面积法，这个方法能够解决许多类似的数学问题.

【设计意图】利用拼图这个活动来锻炼学生的动手能力，培养学生的团队意识和合作意识，在实际操作中亲身体会平方差公式的几何意义，通过鼓励学生展示成果增强学生的表达能力和自我效能感，用不同的方法来表示相同的面积培养学生转化和数形结合的数学思想方法.最后，教师再次演示并逐一说明各部分图形面积的表示方法有利于学生进一步理解平方差公式的几何意义.问题2的提出主要是培养学生的理解归纳和表达能力.

（四）学习活动三：例题学习，应用新知

例1 用平方差公式计算：

（1） （2x+3）（2x-3）;（2） （-2x-y）（2x-y）.

例2 街心花园有一块边长为a（m）的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2 m，而东西方向缩短2 m，请问改造后的长方形草坪的面积是多少？

学生独立思考，完成练习，之后教师讲解.

第（1）问，首先关键是找出谁是“a”，谁是“b”，并且在书写时需注意2x是一个整体，要加括号，然后利用平方差公式计算即可.另外可做补充说明，“a”“b”可以表示数、单项式、多项式、甚至更复杂的多项式.第（2）问有多种解法，鼓励学生思考探索，尝试用多种方法思考问题，深刻理解公式的含义并熟练运用.

【设计意图】例1的设计有利于学生体会数学中的整体意识和换元思想，发展学生的符号意识.例2的设计有利于发展学生的模型思想和数形结合的数学思想方法，增强利用数学问题来解决实际问题的应用意识.

（五）学习活动四：急速挑战，应用反馈

本环节主要设置一个数学活动，如以砸金蛋的方式呈现，每个金蛋对应例如选择、判断、巧算等不同类型的数学问题，主要是为检测学生对本节知识掌握的情况，还可以起到提高学生注意力和活跃课堂氛围的作用.

（六）学习活动五：反思回顾，升华总结

首先，回到起初抛出的问题，鼓励学生分享观点，问题中的两数都接近10，并且与10都相差0.2，把这两数的乘积看成（10-0.2）（10+0.2），用平方差公式便可迅速算得结果.

其次，从知识层面、过程与方法层面、数学思想层面进行总结并引导学生讨论分享如下问题：通过本节课的学习我掌握了哪些知识？对于这节课我喜欢哪些地方？哪些地方我还不太清楚？我做得好的地方以及需要改进的地方有哪些？我学会的解题方法是什么？这种解题方法可以推广应用到哪些地方？本节课所学的内容与以前学习过的知识有哪些联系等等.

【设计意图】通过回顾反思，让学生更深刻地感受知识的发生、发展的过程，培养学生自主学习的能力.

（七）布置作业

必做题：教材中对应的练习题.

选做题：（1）化简：（x+y）（x-y）（x2+y2）（x4+y4） ;

（2）解不等式：（3x+4）（3x-4）<9（x-2）（x+3）.

思考题：你还有其他方法证明平方差公式吗？

【设计意图】考虑到学生的个体差异，因此作业分层设计，增强学生的动口、动手能力，促进学生多向交流，培养学生主动探索能力.

三、总结

（一）教学设计步骤明确

教学过程首先是一种特殊的认知过程，是为传承知识文化、师生之间相互作用的认识活动，并且是师生之间、生生之间通过交流、沟通而促进学生身心发展、追求与实现价值目标的过程[5].传统的教学过程设计主要以教师讲授知识、学生练习巩固为主，这样便导致学生对于知识的掌握仅知其然而不知其所以然，知识的发生发展全然不知，缺乏基本的活动经验以及基本的数学思想方法.本节内容的教学过程设计紧扣以学生为中心，以发展学生的数学思维和创新意识为主，使其在基本数学活动中积累经验、感悟思想.

本节教学设计包括教材分析与准备和教学过程设计两部分.具体包括教材分析、学情分析、教学目标分析、教学重难点分析、教学方法与用具、教学过程设计.具体的教学过程设计根据授课内容明确三维教学目标，根据学生的认知特点适当选取学生认知的生长点，选择合适的教学方法，设置有效的学习探究活动，让学生在问题探究与亲身感知中快乐学习.

（二）遵循五大原则

创造性教学并无固定模式，因此教学过程设计也并无固定程式，但必須要让学生经历明确问题、深入探究、做出结论、验证结论、运用知识、巩固知识的基本阶段.案例设计遵循了以下原则：一是目标明确.布鲁姆的教育目标分类学将教育目标分为认知领域、情感领域和动作技能领域，在实际教学中，认知、情感、动作技能这三方面基本是同时发生的，因此应从这三方面以及教学内容来设置适宜的教学目标.二是内容准确.有许多教师在讲授某些数学概念时会增加一些内容，尤其是刚上任的教师对教学内容理解不透彻很容易犯错.例如，本节内容中课本没有明确的定义“相同项”“相反项”，因此在用这种说法归纳平方差公式的特征时，一定要阐述什么是“相同项”，什么是“相反项”.三是方法恰当.选择适当的教学方法能够有效地提高教学效率，但在实际的教学过程设计中教师往往将多种教学方法结合在一起使用.四是组织形式合理.比如在进行实验教学或者探究式教学时需明确学生应独立学习还是小组合作学习，教师要适当地编排座位、明确分组.五是问题设置有效、简明.有效问题的设计有利于激发学生的学习兴趣，引导学生自己逐步建构知识，无效的问题不仅浪费课堂时间而且无法有效完成教学目标.总之，要重视系统性知识的传授与学生直接经验积累的平衡，重视掌握知识与培养思想品德和提高能力并重，有效发挥教师的主导作用与学生的主体作用，为培养学生的基础知识和基本技能、丰富学生的基本数学活动经验和基本数学思想方法、提高学生发现问题、提出问题的能力和分析问题、解决问题的能力进行教学设计.

（三）回顾反思

回顾本节课，第一，在创设问题情境中，利用学生在生活中熟悉的情境引发学生思考，让学生充分感受到数学在生活中的强大作用，激发学生的求知欲.第二，通过回顾和应用上节的知识引导学生观察探究、类比归纳出本节内容的要点，充分考虑学生已有的知识和能力，抓住新知的生长点，循序渐进地引导学生积极思考、讨论，培养学生观察归纳和发现问题的能力.第三，通过实际操作和演示，学生能够积累“做数学”的基本技能和基本活动经验，培养学生分析问题、解决问题的能力，其中渗透着转化和数形结合的数学思想方法.第四，例题的设计进一步强调了平方差公式中的整体思想和换元思想，“反思回顾 升华总结”环节注重引导学生学习，因为“教是为了不教”.第五，分层作业的布置关注学生的个体差异，以必做题及时巩固新知，更熟练地掌握平方差公式的应用等基础知识;以选做题深化提高，感受数学之美，增强应用意识;思考题注重培养学生的发散性思维，增强创新意识.本节课的设计基于落实“四基”，培育“四能”的新教育理念，注重数学素养的培养和渗透，在“双基”基础上突出基本思想、基本活动经验的积累，在“双能”的基础上注重对发现和提出问题能力的培养，突出数学知识之间、数学与生活之间的密切联系.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学，2012.

[2]唐彩斌，朱黎生，杨慧娟.“四基”“四能”给课程建设带来的影响——宋乃庆教授访谈录[J].小学数学（数学版），2012（14）：11-13.

[3] 张奠宙.关于“四基”教学模型——呼吁加强对“四基”数学教学的研究[J].数学教学，2016（08）：52.

[4] 何小亚.追求数学素养达成的教学设计标准与案例——谨以此文纪念驾鹤西游的我国著名数学教育家张奠宙先生[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（2）：2-10.

[5] 王道俊，郭文安.教育学（第七版）[M].北京：人民教育出版社，2016.