李想

【摘要】几何在数学中不同于代数，浑然天成的题目，简洁的条件和结论却蕴含着不简单的思想.几何辅助线作为连接条件与结论的桥梁，是几何中的难点，本文就几种简单几何辅助线的根源进行探究，寻求几何辅助线的规律性

【关键词】平面几何;辅助线

平面几何曾被许多科学家、数学家称为“思维的艺术体操”.在全国各省市的中考中，几何证明题也是这场选拔性考试的分水岭，题目主要考查考生对基本图形的识别能力以及逻辑推理的能力，正确地连接辅助线是解决平面几何问题的关键.但是，对许多学生来说，辅助线的选取只能就提论题，几何问题的思维方法很难形成规律性，这也是长期以来，教师觉得几何难教，学生觉得几何难学的原因.笔者在近日的教学中，以一道一题多解的几何题为例，和学生分享辅助线的规律性，学生收获颇丰.

例 如圖1所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，P是BC中点，PD⊥PE，求证：PD=PE.

本题是一道等腰直角三角形的基础题，题目本身并不难.

方法一 连接AP，如图2所示，易证△BPD≌△APE，从而证得PD=PE.但学生思考的是辅助线连接AP有什么规律可循吗？

了解简单基础的平面几何基本图形，是研究平面几何的基础，实际上这也正是辅助线的由来，因此，对于辅助线连接AP，先和学生分享了一个简单的数学模型：

如图3所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，易证B′C′⊥BC.（简释：如图4所示，延长B′C′交AB于点G，交BC于点H，∠B=∠B′，∠BAB′=∠B′HB=90°）

上述模型可以简单说成三角形绕一个顶点旋转90°后，旋转前后该顶点所对的边垂直.那么当PD⊥PE时，如何证明PD=PE呢？……