卓穆湘

【摘要】线性代数是大学数学及研究生考试的一门基础课程，而行列式是线性代数的一个重要的基本工具，下文是基于二阶和三阶行列式对角线法则，以及代数余子式计算方法，通过总结规律，推导出四阶行列式展开公式，并附此展开公式的应用案例.

【关键词】对角线法则;四阶行列式;代数余子式;行列式展开公式

一、引 言

行列式是线性代数重要的内容之一，且在线性代数中占有重要地位，因此，有必要对行列式进行研究，在《线性代数》教材[1]中仅介绍二阶和三阶行列式的对角线法则，然后找出规律，给出n阶行列式的定义，但对角线法则无法对四阶行列式展开，本文运用代数余子式推导出四阶行列式完全展开公式.

二、基于对角线法则展开的三阶行列式

三阶行列式按图1对角线法则展开，有

图1中左倾的实线可看作是平行于主对角线的连接线，右倾的虚线可看作是平行于副对角线的连接线，行列式外添加了做辅助连接线的两列元素，与第一列和第二列元素相同.实线上三个元素的乘积项冠以正号，虚线上三个元素的乘积项冠以负号，每项均为行数列数不同的三个元素的乘积.

三、四阶行列式的完全展开公式

在四阶行列式中，分别对第一行元素a1j（j=1，2，3，4）划去所在行和所在列，余下一个三阶行列式，即余子式.把余下的三阶行列式按对角线法则完全展開，以（-1）1+ja1j左乘三阶展开式，得到六个不同行、不同列的展开项，共有四组不……