李楚一

【摘要】本文探讨了上半平面映射为单位圆的分式线性映射，并从保形映射的角度导出阿波罗尼奥斯圆族的方程.以分式线性映射的保角性为依据，通过像曲线的几何关系研究原像的几何关系，进而得出施泰纳圆族的方程，并说明其几何意义.

【关键词】分式线性映射;阿波罗尼奥斯圓族;施泰纳圆族

一、引 言

分式线性映射作为一种简单的保形映射在复变函数中被详细地探讨，它具有保角性、保对称性[1]等优良的几何性质，可以让我们对一些几何问题有更深刻的理解.在扩充复平面中，将上半平面映射为单位圆的分式线性映射作为最基本的简单映射，本文将从这个映射出发，按照利用像曲线研究原像曲线的方法，研究两个圆族.

二、将任意圆映射为单位圆

文献[1]中，在介绍将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1的分式线性映射ω=eiθz-λz+λ时，指出该映射把上半平面内以λ，λ为对称点的圆周族映射为ω平面上以原点为圆心的圆周族|ω|=k.考查以λ，λ为对称点的圆族（特别地，将λ，λ的中垂线视为半径为∞的圆），可以发现实轴上侧的圆均被映射为单位圆内部的同心圆，下侧则被映射到单位圆外.自然，我们可以用类似于文献[1]的方法进一步考查，扩充复平面上的任意两点α，β，寻求将以α，β为对称点的任一圆映射为单位圆的分式线性映射.

定理 将以α，β为对称点的任一圆映射为以原点为圆心的圆的分式线性映射为：

ω=z0z-αz-β，其中z0为任一复数.

证 考查以α，β为对称点的圆族.存在这样的分式线性映射ω=f（x），它将α映射为原点，将β映射为∞，又由保圆性知圆族中任意的圆必被该映射映射为像平面上的圆，由保对称性知像圆以原点与∞为对称点，或者说以原点为圆心.因而，任何这样的f（x）都满足该定理要求，而它的一般形式很容易写出，即为ω=z0z-αz-β，z0可以随意取得，决定映射的伸缩与旋转.

在保形映射中我们往往只关注原像与像之间的集合变换，往往不必在意映射的具体对应关系，所以我们不妨……