李婧蕊 程晓亮

（吉林师范大学数学学院 吉林·四平 136000）

0 引言

几何学是世界上最早出现的一门数学学科，拥有悠久的研究历史和重要的教育价值，图形与几何是初中数学课程中的四大领域之一，几何证明又是该领域的重点。初中几何证明在培养学生思维品质、直观能力上所起的作用是其他内容不可替代的。然而，由于几何证明的逻辑性强，表达要求高，导致学生在解题时面临困难。因此，为了提高初中生几何证明题的解题效果，需要给出初中数学几何证明若干解题规范。

1 初中数学几何证明

1.1 数学证明

数学意义上的证明涵盖了两种截然不同的含义，一种是逻辑严谨的自然语言的表达式，用来说服他人接受某个结论，称之为非形式化证明。证明者所使用的证明语言是这种证明的关键所在，即证明语言本身以及他人对语言的理解决定了证明的严密性。这种形式的证明经常出现在辩论、科学讲座、教育等应用型场景。但这并不是数理逻辑学家所使用的“正式的” 证明。数理逻辑学家所谓的“正式的”证明则是另一种截然不同的证明，称之为形式化证明。与非形式化证明不同的是，形式化证明所使用的并不是自然语言，而是使用形式化的证明语言进行表述，证明过程是一个有限长度序列表达的形式语言。这样的定义方式使得形式化证明不存在任何逻辑上的歧义。基于此，我们能够发现在数学证明中无论是非形式化证明还是形式化证明，重要的都是运用规范的语言进行表达。

1.2 几何证明的本质

几何证明作为数学证明的一个分支，证明思路与数学证明如出一辙，在一个特定的公理系统中，是由定理和公理为基础按照一定的规则得出某些结论的过程，其必须运用准确无误的形式化语言即几何语言进行表达。

欧几里得是几何证明的源头，其证明的本质，一个是将定理、公理以及定义作为证明的出发点；另一个则是证明的方法,即演绎方法或三段论方法。欧几里得得出的467 个定理就是这样将5 条公理和5 条公设作为证明的出发点按照演绎方法进行证明。于是，欧氏几何就这样形成了被后人称之为公理化体系的一个系统。我们可以这样理解，欧氏几何证明就是以这5 条公理和5 条公设为证明的出发点即证明条件。对欧氏几何证明的方法，早在古希腊时期，哲学家们就对其有过辩论，亚里士多德认为：“推理是一种论证，其中有些被设为前提，另外的判断则必然地由它们发生。当推理由以出发的前提是真实的和原始的时，或者当我们对于它们的最初知识是来自于某些原始的和真实的前提时，这种推理就是证明。”基于此，可以把几何证明理解为一种推理。数学意义上的推理主要分为演绎推理和归纳推理。归纳推理的结果具有不确定性，即这就是波利亚所说的“合情推理”，因而需要进一步的演绎推理，《美国数学教育的原则和标准》将归纳推理称之为非直接证明，将演绎法称为直接证明。在几何证明中经常用到的则是演绎推理。演绎推理是一种由一般到特殊的证明方法，具有顺序性和严密性两个特性。其中，顺序性意味着，未被定义的概念和未被证明的命题不能被使用；严密性则是严格按照逻辑、按部就班的进行证明，完全没有直觉。这种证明方法能够保证任何前提推出的结果都和前提一样可靠，即前提的真实性能够保证结论的真实性。这种证明方法成为数学证明的主要方法，称之为演绎逻辑。[1]

1.3 初中数学几何证明

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出义务教育阶段的数学课程要有助于培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，注重发展学生的空间观念和几何直观。[2]几何证明是初中几何课程学习的重中之重，几何证明的学习对中学生来说还是比较困难的，这是由几何问题的层次、活动、解法都具有多样性所决定的。几何问题的常见类型有几何证明、几何作图和几何应用三大部分，而几何证明是综合性很高的问题解决的过程。[3]几何证明在培养学生空间想象能力、认识图形、把握图形的能力，逻辑推理能力上具有独一无二的作用。初中几何证明考察的是学生的逻辑思维能力及几何语言书面表达能力，能够从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明并将证明过程进行规范表达。从数学的视角来看，初中几何证明是根据已知的真命题推出新命题的逻辑推理过程；从认知心理学的角度来看，初中几何证明题是学生将未被证明的命题与自身认知结构中已知的命题和概念建立认知联系，将未被证明的命题进行证明。从初中生解题角度来看，几何证明是将学生思维的推理证明过程书面化。初中几何证明既能考查学生对基础知识的掌握，又能展现学生的逻辑推理能力及几何语言的表达能力。

2 初中数学几何证明规范解题的重要性

2.1 数学中的规范

汉语词典分别从名词意义、动词意义、形容词意义三个角度对“规范”一词进行解释。明文规定或约定俗成的标准是名词意义上的“规范”的意思，如：道德规范、技术规范等；动词意义上的“规范”是指按照既定的标准和要求进行操作，使某一行为达到或超过标准，如：规范管理、规范操作；形容词意义上的“规范”只能用实例来诠释，例如，企业的管理很规范等。[4]

根据“规范”一词的词义，结合数学学科自身的特点，在初中数学中我们可以把“规范”一词理解为“标准”的意思。在数学中我们对“标准”一词并不陌生，例如，为了明确我国义务教育阶段数学课程的性质、课程基本理念、教学目标等，为了科学指导教师的数学教学与学生的数学学习，根据我国的教育方针与培养目标，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2011 年版）》。此后，义务教育阶段的数学课程的教学与学习就以该标准作为指导。在进行数学考试时，为了让评卷教师能够进行准确、客观地评分，则会根据教学目标、考察目标制定合理的评分标准。几何证明题在初中数学中具有重要意义，那么初中数学几何证明解题也就十分重要，为了规范学生的几何证明解题，提高学习效率，我们也有必要制定出几何证明题解题规范，以此来指导学生的解题。

2.2 几何证明解题

所谓“解题”，中文字典对其含义是这样解释的，即对所提出的问题做出解答。在数学中几何证明的解题就是对提出的所要证明的结论进行证明，并将证明过程进行书面表达。初中数学几何证明题主要包括对条件、目标的分析、证明思路的确定、书写证明过程三个步骤。而对条件、目标的分析和证明思路的确定是学生独立在头脑中进行思维的过程，因此呈现出差异性。几何证明最重要的就是应用形式化的语言即几何语言将证明过程准确地进行书写。换句话说，尽管每个人的思维过程不同，但是在书写表达即解题时应该是统一、规范的。

2.3 初中数学几何证明规范解题的重要性

（1）规范解题是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》思想的有效体现。规范解题是展现学生的数感、符号感的有效载体，课标中对数感、符号感这些数学学习的核心概念提出了明确的学习要求，而考察学生是否达到这些要求的最有效的方式就是考察学生的解题是否规范。同时，课标对学生的抽象思维以及逻辑推理能力也都提出了相应的培养目标，而对这种基本技能和基本思想掌握情况的考察也只能通过考察学生的卷面解题。

（2）规范解题能够启发学生思维，提高解题速度。华罗庚教授曾提出在数学解题上要做到“想得清楚，说得明白，写得干净”。由于几何证明题的解题与代数解题有所不同，学生没有标准的公式进行套用，也就没有统一的解题步骤进行临摹，因此，学生对几何证明过程的清楚把握很大程度上是通过规范解题来实现的。在规范解题中学生的证明思路变得清晰、规范，解题速度就会有所提高。同时，几何证明解题又是学生运用逻辑思维进行推导的直观体现，能够直观地反映学生掌握的空间观念、逻辑推理能力。只有规范解题，才能体现思维路径的清楚，才能做到“言之有理，落笔有据”。

（3）规范解题是客观评价知识水平的重要载体。由于中学数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性，因此对课标中提出的“四基”“四能”的考察只能通过卷面测验的形式来进行。基于此，规范解题是进行客观考核、评价、反馈知识水平的前提，只有规范解题才能把学生真实的知识水平、技能掌握水平显现出来，才能对学生的知识水平进行客观地评价。

3 初中数学几何证明解题规范

3.1 初中数学几何证明题的考察要求

一般地，几何证明的考察要求包括：能够通过观察、实验初步得出几何结论，进一步寻求证据，给出证明或者举出反例；能够条理清晰地表达推理证明过程，言之成理，落笔有据；与他人进行数学交流的时候，能够准确地运用数学语言合乎逻辑地进行讨论。[5]

3.2 初中数学几何证明解题规范

根据几何证明的本质以及考察要求，初中数学几何证明解题规范主要涉及以下几个方面。

（1）几何定理、公理使用规范。几何定理、公理是进行几何证明的出发点，是正确进行证明的前提和理论依据，也是几何证明题规范解题的基础。在初中数学学习的过程中，教科书会向学生提供一系列已经证实其准确性的几何定理、公理并将其使用规范也一并进行说明、示范，因此初中生在进行几何证明解题时首先要保证的就是这些几何定理、公理的使用是规范的。例如，书中给出的“边角边（SAS）定理”，对于这个定理的使用，书中已经明确给出使用规范，即按照一组对应边相等、两组对应边的夹角相等、另一组对应边相等的顺序进行证明。这就要求我们在使用这个定理进行两个三角形全等的证明时，对于该定理的使用要按照给出的规范进行。在进行几何证明题解题时，只有几何定理、公理使用规范才能确保下一步证明的准确性。

（2）证明逻辑要规范。几何证明用到的主要是演绎推理，其逻辑是演绎逻辑。进行几何证明解题时就要严格遵守演绎逻辑的两个基本特性：顺序性和严密性。顺序性要求我们在几何证明题解题时要按照由已知推导未知的逻辑顺序进行证明，严格按照“因为…所以…”的逻辑关系，不能出现循环论证，因果不符；严密性则是要求在几何证明解题时要按照逻辑，一步一步进行证明，每一个结论的得出都要有准确的公理、定理作为依据，合理的证明作为支撑，不能凭空得出结论，公理、定理的使用也要有理有据。只有这样，证明中才不会出现循环论证，前因后果不搭配，逻辑混乱不清的情况，才能确保几何证明的逻辑是规范的。

（3）几何语言使用规范。语言是思维的主要工具，学生思维的发展和他们语言的发展分不开。对于数学证明，最重要的是运用规范的证明语言进行表达。同样的，对于几何证明最重要的也是证明过程的表达，而几何证明的表达则是应用几何语言。初中数学几何证明解题规范在本质上就是要表达规范即几何语言使用规范。几何语言是数学语言的一个分支，按照其语言特征，我们把几何语言分为以下三种形式：几何文字语言，几何符号语言、几何图形语言。[6]

几何文字语言是指运用文字来描述几何对象之间的空间形式和数量关系，如几何定理、公理的表述。其优点是便于理解，缺点是语言不够简洁且不利于证明和推理。例如，用文字语言叙述平行线的一个判定定理“内错角相等，两直线平行”。这样的文字表达学生能够容易理解，但在证明过程中并不运用它的文字语言进行证明，更多的是运用符号语言进行证明；几何符号语言就是人们常说的几何符号。例如“//”“⊥”“△”,这些常见的几何符号在几何学中都有特定的含义。符号语言具有准确性和简洁性的优点；几何图形语言是指几何中的图形，优点是直观、形象，缺点是不易描述。几何证明的解题过程常常是这三种语言的有机融合，几何语言使用规范实质包括这三种语言的规范使用。

①几何文字语言使用规范。虽然，几何证明的解题过程用几何符号语言表达，但这并不代表在几何证明解题时不需要文字语言。在几何证明解题中，经常会遇到现有的图形条件无法满足证明的情况，此时，我们要根据情况添加辅助线，对于辅助线的添加，除了要在图形中描绘出辅助线，同时还要将添加辅助线的方法用规范的文字语言进行表述，例如经常使用的添加辅助线词语，如“连接…”，“延长…到…使得…”，“作…与…平行”“过…作…与…垂直，垂足为…”诸如此类描述辅助线画法的文字语言在初中数学几何证明解题中要根据实际情况使用规范。

②几何符号语言使用规范。无论是几何定理、公理的使用，还是“因为…所以…”的逻辑关系，都离不开几何符号语言。为了规范大家的几何符号语言，教科书中给出的几何概念、几何位置关系及几何公理、定理，都用明确的符号语言进行了示范，例如用符号“”来表示三角形，用符号“⊥”来表示垂直的位置关系。除此之外，几何证明中最常见的“因为”“所以”要用符号“∵”“∴”来表示，正确地使用“∵”“∴”是几何证明解题规范的关键。一般来说，由一个条件得出一个结论时，只需进行简单的“∵”“∴”的交替使用，但是当出现多个条件并列陈述、前面已经陈述过的条件或者需要连续使用“∴”时，这两个符号的使用也有规范，多个条件并列陈述时只需使用一个“∵”，其余的可以连续写上条件或者用文字“且”进行连接；前面已经陈述过的条件一般无需重复陈述；连续使用“∴”则是表示前面已经获得的结论作为下一个结论的条件。在几何证明解题中要严格按照教科书中给出的几何符号语言进行表达。

③几何图形语言使用规范。添加辅助线时既要用规范的文字语言将辅助线的画法表达出来，又要将辅助线在图形中画出来，即几何图形语言。几何图形语言是对几何文字语言和几何符号语言的补充，为几何证明提供了直观载体。几何图形语言在几何证明中起着开拓证明思路的作用，规范的几何图形语言才能使证明思路清晰明了。对于辅助线的画法教科书给出了一定的规范，例如，为了区别辅助线与原图形，辅助线要用虚线进行描绘、在作垂线或者高线时要在垂足的位置标出直角符号、对于原图中没有标记字母的点要标记字母。这些虽然都是看似不起眼的地方，但是决定了几何图形语言是否规范。