文∣王薇

在数学教育中，问题解决能力是数学能力的重要组成部分，是指“能解决带有实际意义的和有关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题的能力”。近六十年来，中美两国数学教育界对学生数学问题解决能力的培养越发重视。本研究旨在分析中美两国学生问题解决能力的历史发展、内涵现状、差异原因，以期为中国学生数学问题解决能力的目标设定与培养方式提出一定的参考建议。

一、中美数学问题解决能力的历史演进

(一)中国于1978年首次提出问题解决能力，近四十年来重视程度日益提高

1978年，《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》首次提出“培养学生分析问题和解决问题的能力”，并将其视为在“正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力”基础之上的一种数学能力。把分析和解决问题作为数学能力的构成之一，是中国数学教育的重大突破，运用数学知识分析问题和解决问题，成为检验学生是否掌握了必要的基础知识、基本技能并具有一定数学能力的重要标志。1986年出版的《全日制中学数学教学大纲》强调“运用数学知识”分析和解决“实际问题”的能力，从“实际问题抽象出数学问题”和“数学知识应用于生活实践”两个角度培养学生的数学问题解决能力。1992年出版的《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》首次明确界定“解决实际问题”的内涵，即“能够解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题”，“使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步培养他们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识”。2001年，教育部颁布《基础教育课程改革纲要(试行)》，课程改革全面启动。2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》将“解决问题”作为四个课程目标之一明确提出，不仅包括以往大纲中的分析问题、解决问题，而且包括提出问题、理解问题、与人合作、评价反思，以及在解决问题过程中发展实践能力和创新精神等要求。2001年修订的《义务教育数学课程标准(2011年版)》将课程目标中的“解决问题”改为“问题解决”，其内涵在2001年课程标准的基础上，又增加了从数学的角度发现问题，获得分析问题的基本方法，扩大了数学问题解决能力目标的内涵。从历史演进分析，中国自20世纪70年代提出数学问题解决能力，对该能力的认识不断深化，近四十年来的重视程度日益提高。

(二)美国历来重视问题解决能力，将其视为数学能力培养的核心

美国从20世纪50年代“新数学”运动起就重视数学探究和发现能力，“问题解决”“探究”“发现”成为学生数学能力培养的主要目标。1980年4月，全美数学教师理事会颁布《行动的议程——对80年代学校数学的建议》，提出“80年代的数学教育大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去”，“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“必须把解决问题作为80年代学校数学教育的核心”。问题解决被视为一个“探求的过程”，包括发现问题、分析问题、提出假设、验证假设四个阶段。此时，问题解决能力在数学教育中的核心地位被明确地确立起来。同时，在与数学教育目标配套的课程设置中，也出现了大量以问题为形式进行组织的内容，问题情境成为数学教学的核心。1989年，全美数学教师理事会颁布了美国首个《中小学数学课程和评价标准》，明确提出问题解决能力目标，扭转80年代美国的数学教育过于注重现实情境而轻视数学本身的问题，重视通过现实背景揭示数学的本质及价值。2000年全美数学教师理事会对1989年的《中小学数学课程和评价标准》进行修订，颁布了面向21世纪新的课程与评价标准——《学校数学的原则和标准》，再次提出问题解决能力目标，要求“培养学生通过问题学习新的数学知识”，同时加强在问题解决中对数学思维的自我监控与反思能力。从历史演进分析，美国历来非常重视学生数学问题解决能力，将其视为数学能力的核心，同时在教学中不断调整平衡现实情境与数学本身的关系。

二、中美学生数学问题解决能力的现状

(一)中美学生数学问题解决能力目标的内涵

我国《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。即中国的数学问题解决能力的内涵包括：从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题和反思问题。美国2000年《学校数学的原则和标准》提出，问题解决是学习和应用知识的中心，应贯穿于整个数学课程中，以便为学生学习和应用数学知识提供背景。也就是说：美国的数学问题解决能力的内涵包括：运用策略解决数学和其他情境中的问题，检验解决结果，反思解决过程。美国《学校教学的原则和标准》认为，通过问题可以增加学生对数学作用和效用的认识，经历个人或合作的问题解决过程，如复杂的调查或对问题的探讨，让学生从中获益。总体而言，中国的问题解决能力注重数学的应用性，方向为从数学知识指向问题应用；美国的数学课程以问题解决为基础，方向为从问题情境回归到数学本体。

(二)中美学生数学问题解决能力培养的相同点及美国培养特点

中美两国学生数学问题解决能力目标都注重运用恰当的方法、策略，分析、解决实际生活中的问题，且问题解决的过程都包括反思。中美两国学生数学问题解决能力培养重点的相同方面是：发现问题、分析问题、运用多样方法解决问题、反思问题。在培养重点上美国还特别注重解决概率、统计、几何和有理数等内容的问题，检验解决过程，在问题解决中理解数学概念、掌握数学知识等。美国对学生问题解决能力的培养非常重视，主要体现在：第一，美国教育中数学问题解决能力不仅指解决学生见过的问题，更主要的是解决学生不熟悉的问题，教会学生在遇到新问题时如何思考和行动的方法；第二，美国教育中的问题解决不仅指解决日常生活中的实际问题，也包括数学学科领域内知识层面的复杂问题；第三，美国教育关注问题解决能力与思维能力的关系，在培养学生问题解决能力的同时注重对学生思维习惯的培养，鼓励学生观察和审视自己的思维，认识到自己知道什么、擅长什么、不擅长什么，培养自我监控能力；第四，美国教育倡导学生在问题解决的过程中，必要且需要运用现代科学技术和工具以提高问题解决的科学性和实效性；第五，美国教育从非认知的层面提出问题设计和问题解决对于激发学生数学学习兴趣的意义。

(三)中美学生数学问题解决能力目标的要求程度

中美两国对学生数学问题解决能力目标在发现和提出问题、分析和解决问题、解决问题方法的多样性、评价与反思问题解决过程、数学与其他学科及与生活的联系等几个要素上的要求在程度上有所区别。在从数学的角度发现和提出问题上，中国教育要求“初步学会”，美国教育要求“应当学会”；在分析和解决问题上，中国教育要求“经历不同角度综合运用知识和方法”，美国教育要求“解决在数学和其他情境中的问题”；在解决问题方法的多样性上，中国教育要求“体验”，美国教育要求“采用各种恰当的策略”；在评价与反思上，中国教育要求“初步形成意识”，美国教育要求“检验和反思问题解决过程”；在数学与其他学科及与生活的联系上，中国教育要求“体会”，美国教育要求“运用”。

(四)中美教育中数学问题解决能力培养的案例评析

中美教育中数学问题解决能力培养的案例比较，具体见下页表。

三、中美教育中数学问题解决能力差异的原因分析

(一)中国重视基础能力，美国重视综合能力

中国数学教育界历来重视数学教育的基础价值，认为基本概念和基本运算是数学的基础，学生数学能力的培养建立在对大量公式和定理的记忆和理解基础之上。因此在提出问题解决能力的初期，对学生数学能力目标的表述是“具有正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而逐步培养学生分析问题和解决问题的能力”，即运算能力、逻辑思维能力、空间想象与问题解决能力是递进关系，问题解决能力是“三大能力”基础之上的一种能力。尽管近年来提倡问题解决能力的培养，但运算能力、空间观念、逻辑思维能力仍然是中国学生数学能力目标的重中之重，知识的记忆和概念的理解仍然是培养问题解决能力的前提，基础性仍然是中国数学教育的重要特征之一。美国数学教育界认为，学习数学的目的是为了发展学生的能力，学习数学是为了掌握一种思维方式和一种解释现象的工具。他们认为，知道去哪里寻找定理和公式比记忆这些内容更为重要，只要能够查到这些公式和定理，就无须记忆。因此，美国多年来不太重视学生对基本运算的掌握和基础知识的记忆，对基本概念、基本运算的要求比中国要弱得多，而是将问题解决作为学生学习和应用知识的中心，贯穿于整个课程以便为学生学习和应用数学知识提供背景，通过问题增加学生对数学价值的认识。

(二)中国注重数学的基础能力，美国关注问题情境的生活化

从教育价值观的视角看，数学教育的价值观有两大主流：一种是源于古希腊数学，广义讲为经典数学、纯粹数学及其精神的人文主义价值观；另一种是主要源于现代数学即应用数学的经验主义、实用主义的科学主义价值观。数学教育人文主义价值观的核心是重视纯数学，把数学逻辑的严密性、语言的抽象性、表达形式的优美性视为最重要的内在价值，认为数学是人类文化的核心，数学是一种理性精神，而理性精神只有通过逻辑和数学语言才能

中美教育中数学问题解决能力培养的案例比较表

培养。平面几何的学习是最佳载体，轻视甚至反对数学应用，倡导学生要学“真正的数学”；数学教育科学主义价值观的核心是重视应用数学、活动探究、数学与生活的联系等，反对只用笔在纸上做数学符号游戏，认为学习数学的目的是找到数学的现实意义，与现实无关的数学在基础教育中是没有意义的，因为基础教育不是培养数学家的教育，而是“大众数学教育”。中国数学教育的内容具有逻辑的严密性和抽象性等传统特征，近几十年来受西方科学主义思想的影响，逐渐开始在课程内容中增加数学情境，但情境大多是虚构的，不是学生生活中能够真实发生的。美国的数学教育价值观倾向于科学主义，将数学视为提高国家社会生产力的重要知识和技术基础，国家发展需要培养出具有能够应用数学知识解决实际问题的专门人才。在美国20世纪60、70年代的“新数学运动”“回到基础”等数学课程改革以后，培养学生数学问题解决能力成为美国数学教育的核心。因此在培养学生的问题解决能力时，情境的设置具有浓厚的生活化特征，问题的答案也是结合社会生活实际的结果。

四、对中国数学教育的思考与启示

(一)明确数学知识技能与问题解决的双向关系

在数学问题解决的过程中，数学知识技能与数学问题解决存在着相互促进的双向关系。一方面，数学基础知识和基本技能是解决问题的基础和前提，即将数学知识和方法应用到解决数学学科本身及现实生活的问题中去；另一方面，恰当的问题实际上也为学生学习数学知识、掌握数学技能提供了合适的载体，即“为了”解决问题，学生能够明确“需要”学习哪些知识和方法。因此在教学实践中教师需要意识到，知识与技能的掌握和问题的分析与解决并非一定要具有先后顺序的关系，有时问题解决也能为学生的数学学习提供驱动力，即“任务驱动式”的数学学习。

(二)问题解决能力培养的关键在于设计好“问题”

由于数学学科具有高度的抽象性和广泛的应用性，在数学教育中，问题解决中的“问题”大致可以从两方面来理解：一种是基于数学本身的学科知识领域中的问题，另一种是基于现实情境的实际生活中的问题。鉴于中小学数学教育的特点和数学课堂教学的局限，数学课堂中的“问题”可以细分为以下六种：真实的生活问题、复制的生活问题、简化的生活问题、改造的生活问题、其他学科中的生活问题、数学学科内的问题。不同类型的问题在问题解决能力内各要素的指向上有所差异，数学教师应认真研究这几种问题类型，进而研究出相应的问题设计方法及能力培养策略。

(三)在解决问题所用的知识之间建立起联系并进行方法取舍

数学问题解决能力培养的最主要目的，是帮助学生系统地思考解决问题的方法的可能性，所以，解决问题是问题解决能力的核心。在教学实践中教师很可能会碰到基于一个问题学生考虑了多种方法的情况，此时，教师务必需要注意两个问题：一是在学生进行了多种方法的尝试和体验后，要让学生仔细考虑，对不合理或过于复杂的方法予以放弃，即让学生明白并非所有方法都有用；二是在已经确定的能够成功解决所设问题的若干方法中，教师需要引导学生分析不同方法分别运用了哪些具体知识，并在这些知识之间建立起联系，形成逻辑的数学知识结构网络。

(四)注重培养学生问题解决能力的自我评价和自我反思意识

从问题解决的流程上看，发现问题、分析问题、解决问题并没有完成问题解决的全部过程，解决问题后的“评价与反思”是一个必不可少的环节。在数学教育中，教师要特别注意培养学生自我评价和自我反思的意识和能力。在成功地解决了问题之后，教师需要引导学生思考“我的方法是否正确？在这个方法中，我运用了哪些已经学过的知识？我还可以采用哪些其他的方法？我的同学采用了什么方法？我的方法与他们的方法相比，分别有哪些优点和不足？这些方法所运用的知识之间存在哪些联系？”等。这些问题能够有效帮助学生深化对数学知识和方法的理解，将问题解决的最终目标引向数学的本质。

本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“促进中小学生问题解决能力发展的学习活动设计及课堂评价研究”(DHA170349)的研究成果