袁华风

[摘  要] 立体几何是高中数学的重点知识，以其为基础命制的考题也是高考的重点题型. 问题突破时需要学生准确把握几何特性，灵活运用理论知识建模转化. 一般而言从不同的角度思考问题可以获得不同的解题思路，实现问题的多解，文章对一道立体几何题开展多解探究、空间拆解，并开展解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 立体几何;多解;体积;余弦定理;转化;拆解

考题呈现，试题点评

1. 考题呈现

（2019年高考全国卷理数第12题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（  ）

A. 8 π B. 4 π

C. 2 π？摇？摇？摇 D.  π

2. 试题点评

上述试题是高中常见的立体几何求体积问题，其特点在于依托正三棱锥构建了外接球，因此解题的关键就是利用正棱锥的特性，求解外接球的半径. 从题干信息及核心突破点来看，主要考查学生对立体几何特性的掌握及空间联想能力. 对于该考题有多种突破思路，下面对其深入探究.

思路构建，多解探究

所求几何体积是正三棱锥的外接球，突破的关键是求出外接球的半径，考虑到正棱锥的特殊性，可以通过求正棱锥的边长实现，也可以转化为分析内接正方体与外接球的半径关系. 题干给出了三棱锥的相关中线、构建的几何角，突破时可以从不同的角度进行.

方法一：依托公式构建，定理转化获解

求外接球的体积，只需要求出其半径即可，所给三棱锥为正三棱锥，底面三角形为边……