王冬兰 保继光

(北京师范大学数学科学学院 100875)

对数、微积分和解析几何并称为17世纪数学最伟大的三项发明.对数的引入让大数计算的简化成为了可能.事实上，对数的本质是等差数列(Arithmetic Progression)与等比数列(Geometric Progression)之间的对应关系.历史上，这种关系反复吸引了很多著名的数学家的关注.

公元前3世纪，阿基米德(Archimedes，公元前287—公元前212)在《数沙者》(The Sand Reckoner)中提出了一整套表示大数的方法，其中蕴含着等差数列与等比数列之间的对应关系.[1]在阿基米德的计数法中包含这样的内容：

已知数列A1,A2,A3,…,Am,…,An,…,Am+n-1,…，若A1=1,A2=10，Am+n-1=AmAn，则An+1=A2An=10An.

阿基米德实际上给出的是如下两个数列之间的对应关系:

表1 阿基米德给出的对应关系

1 等差数列与等比数列对应关系的确立

1484年，法国数学家许凯(N.Chuquet，1445—1488)在《数的科学三部曲》(Le Triparty en la science des nombres)中给出了一个数列间的对应表格：

表2 许凯表格

许凯指出等比数列中两个数之间的乘法可以转化为等差数列中相对应数的加法.[2][3]例如：表格中第二行等比数列中第二项与第四项相乘2×8=16,对应着第一行等差数列中第二项与第四项相加1+3=4,即21×83=164.这里数的上标，表示的并不是指数，而是数在表格中对应的位置.基于这个对应关系，许凯定义了幂函数的乘法，得出结论：两个单项式的乘积可以由幂函数指数相加得出.

1544年，德国数学家施蒂费尔(M.Stifel,1487—1567)明确提出了等差数列与等比数列之间的对应关系.在《整数的算术》(Arithmetica Integra)中，他引入了与许凯相同的两个数列：

表3 施蒂费尔表格

其中施蒂费尔对数列之间的关系给出了清晰的解释……