陈静静

[摘  要] 文章以一道圆锥曲线题的改编为研究方向和主要内容，总结归纳这类问题的通性通法，挖掘蕴含其中的方程思想、函数思想和转化与化歸思想，探究各种方向的命题思路，进而得到了这类定值定点问题的几个一般性结论.

[关键词] 改编;圆锥曲线;定值定点问题

前不久，宁波市教育局教研室组织了“宁波直属迎春高考数学原创模拟卷评比”的活动，要求以三人为一个集体单位组队命一份高考原创模拟卷. 笔者最大的一项任务就是命制一道圆锥曲线题.该题既要考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养的能力，又要体现几何问题代数化、代数问题坐标化的解析几何本质. 为此笔者探索了许多圆锥曲线的综合题，发现该类题的命制大多以轨迹问题、最值问题、存在性问题、定点定值问题等形式出现. 其中一道椭圆问题引发了笔者的思考和探究，笔者以此为原型改编出了一道新题，也在最终的评比中获得了不错的成绩. 下面笔者把对这道题目的探究反思过程以及改编方向整理成文，与各位同行交流.

原题：已知焦点在x轴的椭圆C的离心率为 ，椭圆上的点与焦点的最大距离为8.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过其右焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB垂直平分线交x轴于点M，求证： 为定值，并求出此定值.

分析：第（1）小题离心率已定，最大距离即为a+c=8，很快能解得椭圆方程 + =1. 第（2）小题考查的是直线与椭圆的位置关系，求证的是两条线段的长度为定值.变化中含有不变的量，说明两条直线在运动时是相互有关系的，所以关键在于寻找变中不变的要素，以下为证明过程.

（2）证法一（利用过焦点设直线方程）：设直线l的方程为：y=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立椭圆方程得（16+25k2）x2-150k2x+225k2-400=0，依题意得Δ>0，

利用韦达定理可得线段AB中点P的坐标为 ，- ，

线段MP的方程为：y+ =- ·x- ，则M ，0，

所以FM= ，又利用弦长公式可得AB= ，故 = .

证法二（设中点坐标，通过点差法大大简化运算量）：

由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x0，y0）.

由AB都在椭圆上可利用点差法得到其斜率kAB= =- ，

又由PM⊥AB，可得kPM= ，故直线PM的方程为y-y0= （x-x0），

则M点坐标为 x0，0，所以FM= x0-3，

那么AB=AF+BF=2a-e（x1+x2）=10- x0 .所以  = = .

根据波利亚在《怎样解题》中提出的怎样解题表“弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾检验反思”，笔者认为最重要的就是反思，好的反思能帮助我们更好地解决一类题，也可以帮助我们更好地命制新题.

反思一：在这样一个具体的椭圆中，两条线段的比值为一个定值，那么在一般的椭圆中是否成立呢？

命题1：已知椭圆C： + =1，过其右焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，求证： 为定值，且此定值为 .

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x0，y0），

由AB都在椭圆上可利用点差法得到其斜率kAB= =- .

又由PM⊥AB，可得kPM= ，可得到直线PM的方程为y-y0= （x-x0），

则M点坐标为 x0，0，故FM=  x0-c，

那么AB=2a-e（x1+x2）=2a-2× x0，所以  = = .

反思二：逆命题能否成立呢？

命题2：已知椭圆C： + =1，与x轴不垂直的任意直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且 为定值，求M点的坐标.

证明：设直线l的方程：y=kx+m，则点M坐标为- ，0，

联立椭圆方程得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，

则根据弦长公式整理可得AB=  ，

那么AB中点P的坐标为- ，- +m. 又由PM⊥AB，得kPN=- ，

则直线PN的方程y+ -m= - x+ ，

得点N坐标为- +mk，0，则MN=- + ，

那么 = · · = ·  ，

当且仅当 = 时，比值为定值. 所以 =±c时，即M点坐标为（±c，0）时，符合题意.

反思三：命题一中直线过的定点为椭圆的焦点，能否弱化条件改为x轴上的任意一点（当然应保证在椭圆内），还会有两个线段的比值为定值的结论吗？如果没有，取值范围是多少呢？

命题3：已知椭圆C： + =1，过x轴上一点（x0，0）（-a≤x0≤a且x0≠±c）作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则 的取值范围为多少？

证明：由命题2可得 = ·  ，

又由直线y=kx+m过点（x0，0）可得kx0+m=0，则m=-kx0，代入可得  =  ·   =   · ，a2-x ≥0，

所以当-c

当x0∈[-a，-c）∪（c，a]时， 随着k的增大而减小，故 ∈ ， .

反思四：上述的结论都是关于椭圆的定值问题，能否推广到一般圆锥曲线？

命题4：已知双曲线段C： - =1，过其右焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，求证： 为定值，且此定值为 .

证明：证明方法与命题一类似，可得 = .

命题5：已知抛物线C：y2=2px（p>0），过其焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，求证： 为定值，且此定值为2. （证明略）

以上就是笔者对改编这道圆锥曲线题的探究与反思，当然，我们探究的目的绝非纯粹地强调如何对试题进行改造，而是希望借助这样的共同反思，加深对圆锥曲线定值问题解决办法的本质理解，加深对教学过程中从发散到回归的教学理念的升华. 正所谓“解需有法，而解无定法”，在解决问题中，只有对此题的相关知识和方法进行“寻根溯源”，才能在此基础上打破思维定式，见机行事，才能在我们的脑海中“活水长流”.