梅坚强

[摘  要] 学习过程是学习者在原有认识结构基础上所产生、进行的一个过程，学习者必须结合已有的相关知识与经验才能建立新的认知和理解并提升解题能力. 教师应关注学生的有意义学习并使学生在已有知识与能力的基础上不断获得解题能力的发展.

[关键词] 解题能力;有意义学习;学习过程

有意义的学习这一现代认识学习理论是美国心理学家奥苏泊尔所提出的，他一直认为学习过程是学习者在原有认识结构基础上所产生、进行的一个过程，学习者必须结合已有的相关知识与经验才能对新的概念、规则、命题、问题建立认知和理解. 他认为学习者循序渐进的学习能力在已有知识的基础上也是螺旋上升、逐步提升的，这需要学习者具备一定的认知与理解的基础.事实上，学生在学习过程中能够认识、理解新的概念、规则和命题正意味着其能力的突破，这是一种具体的体现.

每个教师在实际教学中均会追求提升学生解题能力这一目标，这在教学环节中也是最为重要的一环. 很多数学教师在高考政策下依旧在教学中重复着机械而强化的训练，但现实是，这种机械、重复、强化的训练并没有对学生解题能力的提升起到积极的作用，学生的创造力与好奇心却因此遭到了巨大的打击和泯灭. 应试教育在很多教师心目中仍旧占据着极其重要的地位，很多教师将有效提升课堂教学效率置于理论研究的范畴中，这部分教师在实际教学中很少关注学生知识的形成过程，高付出与低产出仍旧是这部分教师数学教学的一大特色，这都是极少关注学生有意义的学习而导致的.

现在数学高考主要是针对学生对知识的理解与应用上的考查，这是针对考查学生能力而设计的. 学生在缺乏数学思想的前提下解题，往往无法对知识的整体性等问题进行全面的考虑，解题缺陷自然会表现得更加明显. 因此，关注学生的有意义学习、关注学生知识形成的过程、关注学生的数学思想形成是教学中不可缺少的，只有这样，学生才能在高度紧张的环境中获得高考的成功.

备好学生这一关是帮助学生实现有意义学习的第一关. 了解学生的知识储备情况、心理特征以及思维差异性等方面，能使教师制定出更为明确且具针对性的教学目标. 另外，教师在实际教学中还应关注数学问题中回归基本的思维特征并对问题之间的联系进行分析，帮助学生学会探寻解决问题的办法. 教师长期平衡好两者之间的关系能有效帮助学生的知识水平、解题能力获得有力的提升.

例1：如图1，已知△ABC为直角三角形，∠ABC为直角，AB=4，BC=3，BD为斜边AC上的高，试求BD的长.

这是一道学生学习过解三角形后基本都会解决的简单题，解法也不止一种，解法之一如下：

因为S△ABC= AB·BC，又S△ABC= BD·AC，所以BD= .

因为AB=4，BC=3，所以AC= =5，所以S△ABC= .

运用不同方法表示三角形的面积并建立等量关系是解决本题的基本思路，在这一等量关系中，未知量以外的其他量都是已知或比较容易求出的，因此未知量也极易求得. 这种平面几何中的基本思路在立体几何的相关问题中一样适用.

例2：如图2，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求证：PC⊥BC;

（2）点A至平面PBC的距离为多少？

解：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC？奂平面ABCD，因此PD⊥BC.

由∠BCD=90°，得CD⊥BC.

又PD∩DC=D，PD，DC？奂平面PCD，因此BC⊥平面PCD.

因为PC？奂平面PCD，故PC⊥BC.

（2）联想体积法解题. 连结AC. 设点A至平面PBC的距离是h. 因为AB∥DC，∠BCD=90°，因此∠ABC=90°. 由AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1.

由PD⊥平面ABCD及PD=1，可得三棱锥P-ABC的体积V= S△ABC·PD= .

因为PD⊥平面ABCD，DC？奂平面ABCD，所以PD⊥DC.

又PD=DC=1，因此PC= = . 由PC⊥BC，BC=1，可得△PBC的面积S△PBC= . 由VA-PBC=VP-ABC， S△PBC·h=V= ，可得h= ，则点A至平面PBC的距离为 .

点到直线的距离这一类问题在最近几年的高考中是一个考点. 教师应对此类问题的解题思路与方法进行总结并及时发现这一解题思路在几何范畴内的可行性. 当然，点到平面距离的此类问题的解法不止一种，下述解法一样可行.

分别取AB，PC的中点E，F，连结DE，DF，可得DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E至平面PBC的距离相等. 又点A至平面PBC的距离等于点E至平面PBC的距离的2倍.由（1）知：BC⊥平面PCD，因此平面PBC⊥平面PCD，交线是PC. 因为PD=DC，PF=FC，因此DF⊥PC，因此DF⊥平面PBC于点F. 易得DF= ，故点A至平面PBC的距离为 .

第一种解法在解决有些问题时并不是最为简捷的，但学生如果能够对其中的解题思路形成透彻的理解与掌握，则该解题思路在运用上的范围将会更加广泛，解题过程也会更为自然和流畅. 学生对于这种自身原有知识水平上所提炼出的解题思想并不会感觉高深莫测，因此，教师可以首先帮助学生在部分练习中对这一解题思路进行理解与掌握. 在学生对这一解题思路获得理解之后就不用大费周章了，尽量避免学生在重复、机械的训练中丧失处理问题的能力，上课的效率也因此大大提升.

教学的有效时间对于学生能力的提升锻炼有着积极的影响作用，在同等时间内帮助学生掌握知识的多少是教学有效性真实而具体的体现. 课堂教学成功与否的一个重要标志就是学生的主体参与，但受到问题情境的创设、教师教学的主导等因素重大影响的学生主体参与是一个相当复杂的问题，因此，教师在课前就应该对各种可利用的生成性资源进行预估，对整个教学过程进行整体的把握并引导学生在主体学习中达成教学的目标. 比如，教师在数列的复习教学中可以对一些复杂问题进行预设，以最贴近学生理解的方式帮助学生更好地参与课堂并令其解题能力得到发展.

例3：数列{an}中，已知a1=a，当n≥1时，an+1=pan+q，其中p，q为常数，且p≠1，试求{an}的通项公式.

直接让学生解决这一问题显然不会顺利，很多学生甚至因为此题太难而直接放弃思考，解题的积极性自然不会很高. 教师此时可以进行如下教学以帮助学生更好地参与到课堂中来，使学生的思考由浅入深并顺利实现解题.

问题1：已知a1=1，an+1=2an+1（n≥1），试求其通项公式.

问题2：已知a1=1，an+1=2an+3（n≥1），试求其通项公式.

问题3：已知a1=1，an+1=2an+q（n≥1），q是常数，试求其通项公式.

问题4：已知a1=1，an+1=3an+1（n≥1），试求其通项公式.

问题5：已知a1=a，当n≥1时，an+1=pan+q，其中p，q是常数，且p≠1，试求其通项公式.

学生在问题1～4的思考后基本能够独立解决问题5，教师在具体教学中可以花费较多的时间来解决问题1，然后引导学生在问题2～4的探索中表达出具体的解题思路，最后引导学生在教师的简单小结后板书解题过程. 这种能够有效规范解题步骤的教学能更好地考查学生对知识的理解与掌握情况.

上述能够考虑学生实际的教学活动很好地考虑到了学生的主体作用，以学生已有的知识为背景并引导学生按步骤解题的教学也保障了课堂的有效性. 学生在获得解题自信的同时也会更好地养成思考问题的习惯并获得思维能力的发展.

教师的教学方式对学生的解题能力有着直接的影响，以学生已有的知识为背景进行教学的设计与实施能够更好地帮助学生提升解题能力. 教师在实际教学中应不断加强新旧知识联系的教学并使学生能够充分感受到新知识的生长点，充分展现数学知识之间的逻辑联系并帮助学生更好地构建、完善新的知识结构.