陈晓波

[摘  要] 数学问题的发现、提出、分析与解决以及论证思路的形成、逻辑推理的进行、抽象结构的构建都需要直观想象这一能力的支撑，教师在具体教学中应着眼于学生直观想象能力的培养并因此使得学生的数学核心素养得到大力发展.

[关键词] 直观想象能力;数学核心素养;变式;反思

问题的提出

利用图形理解、解决问题的直观想象是发现数学结论、解决数学问题的重要素养，很多学生因为知识面狭窄、知识储备量薄弱、运用能力低下等原因而在直观想象上表现一般. 鲍建生教授曾经明确介绍过直观想象这一核心素养的表现形式，具体表现为以下几点：（1）借助图形对数学问题加以描述;（2）借助图形对数学问题加以理解;（3）借助图形对数学问题进行探索与解决;（4）構建数学模型.

史宁中教授一直持数学知识形成依赖于直观、数学知识的确定依赖于推理这一观点，由此可见，很多数学结果都是“看”出来的，此处的“看”即为直觉判断.这种建立在长期有效的观察与思考基础上的能力也就是我们所说的直观能力[1]. 虽说直观能力有先天的因素，但其养成却必须借助一定的经验才能实现. 因此，也有很多专家与学者秉持直观能力是自己“捂”出来的这一观点. 这些观点对于高中学生数学核心素养的培养来说极具意义，因此，教师在实际教学中要注意典型数学内容的选择并创设科学合适的探讨情景，引导学生在充分的观察与思考中积累直观想象的经验. 笔者借助教学实践片段在学生直观想象能力的养成上做一点浅要的思考.

教学片段

例题：已知函数f（x）=x+1-2x-3，求不等式f（x）>1的解集.

师：这是一道经过改编的高考题，大家从直观上来感受一下这道题所包含的知识点有哪些呢？大家以为应该如何解决此题呢？

生1：函数f（x）含有两个绝对值，我们所要求解的不等式中含有三个绝对值，因此，我觉得可以把f（x）化成以下分段函数并进行分类讨论来解题.

师（评论）：这是一种把绝对值转化成分段函数并借助函数图像进行分类讨论解题的巧妙方法，函数思想、数形结合思想、转化与化归思想等都在这一解题方法中得到了体现，零点问题、穿针法、分段函数、作函数图像、解绝对值不等式等诸多知识点也都在这一巧妙解法中得到了充分的运用.

师：大家可有其他解法呢？

生2：可以先找零点再分类讨论. 因为-1， 是函数的两个零点，所以可做以下讨论来解题.当x≤-1时，f（x）=x+1-2x-3=x-4. 因为f（x）>1，因此x-4>1，解得x>5或x<3，因此x≤-1. 当-11，因此3x-2>1，解得x>1或x< ，因此-11，因此4-x>1，解得x>5或x<3，因此 ≤x<3或x>5. 综上所述，x< ，15. 因此不等式的解集为xx< ，15.

师（评论）：这是一种利用函数零点来分类讨论解题的方法，函数零点、转化与化归等知识点在解题中都有涉及，通过零点去绝对值并将其转化为我们相对熟悉的函数形式这一解法其实也是在划分区间，将其转化为分段函数之后来逐个讨论，事实上，我们还可以将分段函数的图像画出来并利用分段讨论来解题. 生1、生2的解题方法以及画图像后进行分段讨论这三种解法的核心都是把绝对值转化成分段函数，这三种解法可以说是有异曲同工之妙的.

师（推进）：假如此题出现在我们同学的考试中，大家以为自己的解题最有可能在哪些环节上会被扣分呢？

生3：我解题可能会漏了某个区间或区间端点，还有就是可能会解题不规范而导致扣分.

师（继续推进）：大家在解决此题之后，有没有想过其中的“-”如果变成“+”又该如何求解呢？

变式1：已知函数f（x）=x- +x+ ，M是不等式f（x）<2的解集. （1）求M;（2）略.

师：之前解题中运用的三种解法也都适用于此题的求解，大家可以逐步去掉绝对值，分x≤- ，-

师（再推进）：大家可以阐述函数解析式所具备的几何意义吗？

生4：f（x）可以看成为点P（x，0）到A- ，0与B ，0的距离.

师（继续推进）：很好，现在我们已经解决了含有两个无参数绝对值的函数解析式，对于含有参数的绝对值不等式我们又应该如何来处理呢？

变式2：已知函数f（x）=x+1-2x-a，a>0，求不等式f（x）>1的解集.

试题分析：借助零点分析法把不等式f（x）>1转化成一元一次不等式组来解得此题.

根据函数f（x）的两个零点-1与a（a>0）分成三个区间，结合题意并列出关于x的不等式并求得x的取值范围.

试题分析：因为-1与a（a>0）是函数的两个零点，所以可做以下讨论：当x≤-1时，f（x）=x+1-2x-a=x-2a-1. 因为f（x）>1，所以x>2a+2，不等式无解. 当-11，所以x> a，所以 aa时，f（x）=-x+2a+1. 因为f（x）>1，所以x<2a，因此a0？摇.

讨论到这一阶段，还会有学生对含参数不等式的知识运用不够娴熟，因此可以在以上三题的基础上继续进行以下变式以帮助学生更好地掌握知识与方法.

变式3：已知函数f（x）=ax+1-2x-1，a>0，求关于x的不等式f（x）>1的解集;

变式4：已知函数f（x）=x+1-2ax-1，a>0，求关于x的不等式f（x）>1的解集;

变式5：已知函数f（x）=x+1+2x-a，a>0，求关于x的不等式f（x）<1的解集;

变式6：已知函数f（x）=ax+1+2x-1，a>0，求关于x的不等式f（x）<1的解集;

变式7：已知函数f（x）=x+1+2ax-1，a>0，求关于x的不等式f（x）<1的解集.

师：以上五个变式是在变式2的基础上演变得来的，题中的函数包含了两个绝对值的和与差，题目所求都是解含参数的绝对值不等式f（x）>1和f（x）<1.

教学反思

利用学生的直观想象来培养学生的数学核心素养是本堂课的教学目标，教学从求绝对值不等式f（x）=x+1？摇-2x-3？摇>1的解集出发，联想到求含参数绝对值不等式f（x）=x+1-2x-a>1，a>0的解集，并最终拓展获得另外五个变式，题目的内涵也在各个不同的变式中得到了充分的挖掘，学生的直观想象能力得到不断锻炼与提升的同时也令其数学核心素养得到了发展. 教师运用各种数学知识、数学方法进行变式并引导学生对知识、方法、思想进行掌握、运用和内化，使学生在不同的问题中经历各种不同角度的思考并运用数学思想对问题展开分析，使学生在运用数学方法解决问题的过程中获得了数学核心素养、思维习惯与品质的养成、提升和发展.

数学问题的发现、提出、分析与解决以及论证思路的形成、逻辑推理的进行、抽象结构的构建都需要直观想象这一能力的支撑，教师在具体教学中应着眼于学生直观想象能力的培养并因此使得学生的数学核心素养得到大力发展，使学生能够在感悟事物本质的过程中获得更多的数学思考与领悟.

参考文献：

[1]  王宏宾，罗增儒. 例谈解题回顾的意义[J]. 数学教学，2007（5）：3-6.