吴峻峰

双曲线中很多求基本量的问题涉及的背景可以转化为双曲线的特征三角形问题，运用特征三角形的几何性质解决这类问题思路简洁，运算量小，若能进行合理转化，往往能达到事半功倍的效果。

以焦点在x轴上双曲线为例，常见有如下两种种特征三角形：

本文主要研究图二中的特征三角形，其中A为焦点：

结论1.OA=c，OB=a，AB=b，

结论2.点B坐标

结论3.过F作渐近线的垂线，垂足为A落在准线上;反之，渐近线和准线交点与相应焦点连线与该渐近线垂直。

以上结论均可计算证明，下面我们例举几类可以转化为双曲线特征三角形的问题的模型，体会巧妙结合特征三角形解题的魅力。

一、以准线与渐近线交点为背景的特征三角形问题

根据特征三角形的性质，准线与渐近线交点与相应焦点连线与该渐近线垂直，可以形成特征三角形。

例1.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值范围为（      ）

A.B.C.D.

解法1 （代数法）

∵60°<∠AFB<90°

而

解得：

解法2 （几何法）

∵60°<∠AFB<90°，∴45°<∠AOF<60°从而，

二、以圆的切线为背景的特征三角形问题

特征三角形中的垂直关系是可以利用半径为a的圆与过焦点的直线相切构造，所以这类问题都可以转化为特征三角形问题。

例2.过曲线的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p>0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为

A.B.C.D.

分析：OM即为双曲线的一条渐近线，为特征三角形，而各边长为其两倍

解法1 （代数法）

由抛物线定义AN=2a，可得N点横坐标x=2a-c

在△NF1F2中由面积法可求得N點纵坐标