张海明

摘  要：在高中阶段处理数学问题时会经常碰到二元二次方程约束下的不等式这类问题。处理这种问题常常用到数形结合的思想，因此解决这类问题应该从两方面入手。从数的视角看，通常可以通过消元或者换元转化为单变量函数，或者利用均值不等式实现二元二次与二元一次之间的转换;从形的视角看，通常可以转化为定点或者定直线到圆锥曲线上动点的距离的最大值与最小值问题。本文仅从一个典型问题出发，探析解决此类问题及其解法的本质。

关键词：二元二次不等式;问题;解法

一、问题呈现

例题1x2-y2-2x+2y-1=0，求证x2+y2>0.25。

这道题虽然看起来形式复杂，但经过恒等变形，可以将陌生的形式变成我们所熟悉的公式。我们可以通过消元，减少未知数的个数简化式子，降低试题难度;也可以将公式与图形相结合，通过图形的形式将问题简化。

二、解法探析

思路1：从数的角度看，通过式子恒等变形，将式子中的未知数用三角代数转化，可以减少未知数的个数，将二元化为一元进行解答。令x=1/cosa，y=tana，那么x2+y2=（1+sin2a）/cos2a。分子为1+sin2a>0，分母也为大于的正数。x2+y2-1=2tan2a>o，經过恒等变形，不等式得证。

思路2：从图形的角度看，这个问题可以转化成双曲线与圆是否相离。x2-y2-2x+2y-1=0的所表示的几何图形为双曲线，x2+y2>0。25为半径为0.5的圆。将两个图象画在同一个图中可以看出双曲线的图象与圆的最小距离大于零。通过观察可以迅速得出结论x2+y2>0.25。这两个转化的实质是化高次问题为低次问题。

三、反思感悟

通过学习数学，我们可以看出发现问题比解决问题更重要，通过对所学知识的总结，可以及一反三，成倍提高学习效率。很多同学在……