浅析一元二次方程待定系数的求解方法

2019-09-25孙人锐

报刊精萃 2019年3期

孙人锐

湖北省潜江市周矶办事处周矶初级中学湖北省潜江市 433114

求一元二次方程中的待定系数，既是初中数学中的一个重点，同时也是一个难点，但为了使学生深刻地掌握相关的基础知识，灵活运用所学知识，拓展一元二次方程待定系数的求解思路，明确其相关的学习方法、数学思想，提高学生发展性思维能力。本文介绍几点不成熟的解此类问题的常用方法与策略，期望得到读者与同仁的指点。

一、由根与系数的关系求解

例1、关于x 的方程x 2 +（3-k）x+k 2 -3=0 的两实数根互为倒数，则k=____

解：设 1x、x2是方程的两实数根，由根与系数的关系及题意可知

∴解得k=-2

例2、已知关于x 的方程x2+（m-2）x+m2=0 有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m 的值。

解：设x1、x2是方程的两实数根，由根与系数的关系可知

x1＋x2＝（m-2）x1·x2＝m 2

又（x1＋x2）2－x1·x2＝33

∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝33

即m2-16m-17=0

∴解之得m1=17，m2=-1

此时方程无实数根。

∴m=17 应舍去。

说明：此类型题主要是考查根与系数的关系，并能熟练运用。

练习：1、若方程x2－2x－4=0 的两个这实数根为α，β，则α2+β2的值为( )

A.12 B.10 C.4 D.－4.

2、已知1x 、x2是关于x 的方程x2-ax-2=0 的两根，下列结论一定正确的是（）

A.x1≠x2B.x1+x2＞0 C.x1·x2＞0

D.x1＜0，x2＜0

二、由根的定义求解

例3、当取何值时，方程x2+kx -3=0 和方程x2+x -3k=0 有公共根？求出公共根。

分析：当两个一元二次方程有公共根时应分两种情况讨论：①有一个公共根，②有两个公共根。

解：设两个方程的公共根为α，则

∴（k-1）α=-3(k-1)

即（k-1）(α+3)=0

当k ≠1 时，α=-3，此时k=-2 方程有一个公共根-3

当k=1 时，两个方程均为x2+x -3=0，解这个方程得

说明：此类型题考查的是方程的根及公共根在实际当中的运用。

练习：关于x 的一元二次方程2x2-x-k ＝0 的一个根为1，则k 的值是多少？

三、由根的判别式求解

A 2 B 1 C 0 D -1

解：根据题意及根的判别式可知

又m 取最大整数值，∴m=1

故选B

说明：在运用根的判别式解决类型题的同时，还应结合不等式及整数的有关知识。

练习：

1、关于x 的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0 有实根，则m 的最大整数解是---.

2、已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b 是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2 ＝0 的两根，则m 的值是（）

A.34 B.30 C.30 或34 D.30 或36

四、结合三角函数知识求解

例5、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B 的正弦值是方程（m+5）x2+(5-2m)x+12=0 的两个根，求m 的值。

解：∵sinA、sinB 是方程的两个根，由根与系数的关系

整理得：m 2 -18m-40=0

解之得 m1=20,m2=-2

当m=20 时，△＞0

当m=-2 时，△＞0

又当m=-2 时，sinA+sinB=-3 不合题意，应舍去。

∴m=20

说明：解这类题不仅注意到根的判别式，还应考虑0 ＜sinA ≤1,

0 ＜cosB ≤1

五、一元二次方程综合运用求解

例6、已知m ＞0，关于x 的一元二次方程（x+1）（x-2）-m＝0 的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）

A.x1＜-1 ＜2 ＜x2B.-1 ＜x1＜2 ＜x2

C.-1 ＜x1＜x2＜2 D.x1＜-1 ＜x2＜2

分析“可以将关于x 的方程（x+1）（x-2）-m ＝0 的解为x1，x2看作是二次函数m ＝（x+1）（x-2）与x 轴交点的横坐标，而与x 轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出x1与x2，当函数值m ＞0 时，就是抛物线位于x 轴上方的部分所对应的x的取值范围，再根据x1＜x2，做出判断.

解：关于x 的一元二次方程（x+1）（x-2）-m ＝0 的解为x1，x2，可以看作二次函数m ＝（x+1）（x-2）与x 轴交点的横坐标，

∵二次函数m ＝（x+1）（x-2）与x 轴交点坐标为（-1，0），（2，0），如图：

当m ＞0 时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时x ＜-1，或x ＞2；

又∵x1＜x2

∴x1＝-1，x2＝2；

∴x1＜-1 ＜2 ＜x2，

故选：A.