林新建

(福建省漳州第一中学 363000；闽南师范大学数学与统计学院 363000)

无论进行怎样的教学，培养学生的“数学直观”是非常重要的.本文从一道试题解法的探析入手，就其自然性的启示阐述“数学直观”在发展数学核心素养上的意义和途径.

1 “自然”的启示

例1(2010年高考全国卷理科21题)

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

解析本题是2010年课标全国卷理科压轴题，试题的第(Ⅱ)问难住了众多师生，而高考标准答案同样也让他们费解——这样的解答是如何想到的呢？

这样的解答深奥难懂，解法极不自然，就是我们老师都看不懂，我们又该如何去跟学生讲应该这样解呢？

有没有较为自然简洁的解法呢？若有，怎么想到的呢？

注意到这是函数问题，我们不妨从“直观上”加以理解.

首先，“当x≥0时f(x)≥0”，直观意义即“f(x)在(0,+∞)上的图象位于x轴的上方”.

由于f(x)=ex-1-x-ax2，f(0)=0，f(x)的图象过原点，所以直观f(x)的图象在x=0右侧附近必须递增，从而f′(x)≥0对x=0右侧附近成立.

其次，因为f'(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0，f′(x)的图象也过原点，所以直观f′(x)的图象在x=0右侧附近必须递增，从而f″(x)≥0对x=0右侧附近成立.

有了这个结果就好办了！接下来我们只要证明：

一道难题，由于对“直观意义”的挖掘，我们将解答进行得如此轻松！

2 直观的意义：抽象推理建模的思维基础

回顾以上探究历程，我们不难明白问题得以解决的关键所在——对题目意思所作的“直观理解”与最终结果的“直观预测”.

通常在理解题目阶段，需要对题目中的隐含条件和信息进行发掘，将抽象变具体，将隐含变……