闵 帆,杨卫国

(江苏大学理学院,江苏镇江212013)

1 引言

本文主要研究二叉树TC,2(二叉树TC,2的根点o 与2 个支点相连, 其他的支点与3 个支点相连(见图1)). 为了方便, 将TC,2简记为T2. 对于T2上的任一顶点t, 记|t| 表示根点o 和顶点t 之间的距离. 若|t|=n, 则称t 位于树的第n 层. Ln表示T2的第n 层上所有顶点的集合, T(n)表示二叉树T2从0 层(根) 到n 层的所有顶点的子图. |T(n)| 记为子图T(n)所含顶点数. 对于二叉树上任一顶点t, 记t1和t2为t 的两个子代.

设(Ω,F) 为一可测空间, {Xt,t ∈T2} 是定义在(Ω,F) 上且取值于G={0,1,··· ,b −1}(b 是正整数) 的随机变量集合, 设B 为T2的子图, 记XB= {Xt,t ∈B}, xB表示XB的实现. 设P 是可测空间(Ω,F) 上的概率测度, 我们称P 为树T2上的随机场. 令{Xt,t ∈T2}在P 下的分布为P(XT(n)=xT(n))=P(xT(n)).

定义1.1[二叉树指标分枝马氏链][1]设T2为二叉树, {Xt,t ∈T2} 是定义在概率空间(Ω,F,Q) 上在G = {0,1,··· ,b −1} (b 是正整数) 中取值的随机变量集合, 设p ={p(x),x ∈G} 是G 上一概率分布, P = (P(y1,y2|x)) 是定义在G×G2上的一随机矩阵(满足P(y1,y2|x)≥0,∀x,y1,y2∈G 及如果对n ≥1, 有

图1:二叉树TC,2

及

则称{Xt,t ∈T2} 为具有初始分布p 与随机矩阵P 并在G 中取值的二叉树指标分枝马氏链.

注1.2[1]若{Xt,t ∈T2} 在概率测度Q 下为二叉树指标齐次分枝马氏链, 则

为避免技术问题, 总假定p(x) 和P(y1,y2|x) 是正的.

定义1.3[2]设T2为二叉树, {Xt,t ∈T2} 是定义在可测空间(Ω,F) 上取值于G 的随机变量族, ∀x,y1,y2∈G, 设p(x)>0 且P =(P(y1,y2|x)) 为正的随机矩阵, 设Q,P 为(Ω,F)上的两个概率测度, 其中{Xt,t ∈T2} 在概率测度Q 下为具有初始分布p 与随机矩阵P 的二叉树指标分枝马氏链. 设P(xT(n))>0, 令

则称h(P|Q) 为P 关于Q 的样本相对熵率或渐近对数似然比.

类似于参考文献[2] 中引理1 的证明可知

故h(P|Q) 可作为T2上的任意随机场与分枝马氏链之间偏差的一种度量.

树指标随机过程是近年来……