关于Hayman 问题的差分模拟的值分布

2019-09-21王鑫鑫叶亚盛

数学杂志 2019年5期

王鑫鑫, 叶亚盛

(上海理工大学理学院, 上海200093)

1 引言

本文采用常用的Nevanlinna 理论的标准记号和基本结果[1−2]. 特别地, λ 表示为f(z)的级, σ2(f) 表示为f(z)的超级. 本世纪, 随着亚纯函数差分模拟的值分布理论的建立[3−4], 国内外学者做了大量的研究, 得到了很多的研究成果[5−8]. 特别, 值分布论中的一些经典结果也被相应的差分模拟. 通常, 平移差分∆cf(z)=f(z+c)−f(z) 被看作是的差分对应,f(z)n∆cf(z) 和f(z)n+a∆cf(z)被看作是微分多项式和f(z)n+a的差分对应. 1959 年, Hayman[9]证明了如下的两个定理.

定理A设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, b 为非零有穷复数, 则n ≥3 时,有无穷多个零点.

定理B设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, a(0) 和b 为两个有穷复数, 则n ≥5时,+af(z)n−b 有无穷多个零点.

后来, Ye 和Fang 等人[10−11]将定理B 中的f 和交换位置, 得到了下面的定理C.

定理C设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, a(0) 和b 为两个有穷复数, 则n ≥2时, f(z)+a−b 有无穷多个零点.

2011 年, Liu[12]等人对定理A 中的f(z)n进行差分模拟, 得到了下面的定理D.

定理D设f(z) 为有限级超越亚纯函数, c 为非零复常数, n 为正整数, α(z) 为f(z) 的小函数, 则n ≥6 时, f(z)nf(z+c)−α(z) 有无穷多个零点.

2014 年, Li[13]等人得到了更为细致的定理E.

定理E设f(z) 为有限级超越亚纯函数, c 为非零复常数, n 为正整数, 多项式p(z)则