申培萍,班凤丽

(河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007)

1 引言

考虑如下一类带有多项式约束的广义分式规划问题

广义分式规划问题是一类非凸优化模型, 它包含比式和问题、多乘积问题、几何规划问题等. 近年来这类问题的特殊形式已经引起许多学者的关注. 一方面, (GFP) 问题通常存在多个非全局的局部最优解, 在计算方面有很大的挑战. 另一方面, (GFP) 能广泛应用于实际问题中, 如运输行业、政府合同、经济投资等[1–7]. 关于问题(GFP) 的特殊形式, 文献[8–11]中已给出不同的求解算法, 如分支定界算法、鲁棒算法等. 本文针对一般形式的(GFP) 问题提出一种迭代算法, 利用等价转化技巧与特殊不等式的有关性质将原问题压缩为几何规划问题, 通过求解一系列几何规划问题得到原问题的解, 并对算法进行理论分析, 通过数值算例表明提出的算法是可行有效的.

2 预备知识

为求解问题(GFP), 引入变量ηjt, ξjt, 记

其中T = T1+T2+···+Tp. 并令aj> 0, j = 1,··· ,p1; aj< 0, j = p1+1,··· ,p. 问题(GFP) 有如下等价形式

问题(GFP) 和问题(EGFP) 在如下意义下是等价的.

定理2.1如果(x∗,η∗,ξ∗)是问题(EGFP)的最优解,则x∗是问题(GFP)的最优解. 反之,如果x∗是问题(GFP)的最优解,那么(x∗,η∗,ξ∗)是问题(EGFP)的最优解,其中j =1,2,··· ,p; t=1,2,··· ,Tj.

证由问题(GFP) 和问题(EGFP) 的结构易得结论成立.

基于以上讨论, 为了获得问题(GFP) 的最优解, 可以转而求解其等价问题(EGFP). 令z =(x,η,ξ)∈RN(N =n+2T). 通过改变记号, 问题(EGFP) 可被重新写为如下形式

为了求解问题(EP), 下面将提出一种迭代算法, 该算法通过求解一系列的几何规划来获得问题(EP) 的最优解. 为此, 需要对问题(EP) 中的约束进行处理与变形, 当k ∈K 时,……