黄敬频,蓝家新,毛利影,王 敏

(广西民族大学理学院, 广西南宁530006)

1 引言

Sylvester 方程是矩阵理论研究中非常重要的一类矩阵方程, 它在特征结构配置、航天控制技术、微分方程数值解、模式识别等领域都有实际应用[1−3]. 目前, 关于Sylvester 方程的解与约束解人们多在实数域或复数域上讨论, 并已取得丰富的成果[4−8], 而在四元数体上讨论该方程的约束解问题甚少. 随着四元数矩阵在图像处理、飞行器姿态控制等方面的应用发展[9,10], 讨论四元数Sylvester 方程的约束解具有较大实际意义. Toeplitz 矩阵是一类特殊结构矩阵, 它在信号压缩感知、超视距雷达电离层相位扰动校正等方面有重要作用[11−13].

本文目的是把实数域上的Sylvester 矩阵方程AX −XB = C 推广到四元数体上讨论,给出该方程存在Toeplitz 约束解的条件及解法, 同时讨论它的最佳逼近问题.

几年前，在外创业成功的柳中辉回村，村企联合进行新农村建设，打造总占地14000余亩的浔龙河生态艺术小镇。目前已投入140亿元打造文化产业、教育产业、康养产业、生态产业、旅游产业。

用Rn×n,Cn×n,Qn×n分别表示全体n 阶实矩阵、复矩阵及四元数矩阵集合;分别表示四元数矩阵A 的转置、共轭、共轭转置; A+表示A 的Moore-Penrose 广义逆;表示四元数矩阵A 的Frobenius 范数; vec(A) 表示矩阵A 按列顺序拉直向量; A ⊗B 表示矩阵A 与B 的Kronecker 积. 下面给出相关定义和引理.

定义1.1设T =(aij)n×n∈Qn×n, 如果满足aij=aj−i, 即

则称形如(1.1)式的矩阵为四元数Toeplitz 矩阵,全体n 阶四元数Toeplitz 矩阵记作TQn×n.

由于Xi∈Rn×n(i=0,1,2,3) 均是实Toeplitz 矩阵, 因此由引理1.1 可得

其中ei为单位矩阵In的第i 列. 易知Tn∈Rn2×(2n−1)是列正交的. 于是有