侯标

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072)

1 引言

特征值问题是几何分析的一个重要研究课题,且在偏微分方程以及物理学科有着广泛的应用. 其中关于黎曼流形上Laplace 算子第一特征值的估计问题,就已经得到许多重要的结果.Lichnerowicz[1]首先得到了紧致无边流形在满足Ric≥(n −1)K(K > 0)的Laplace 算子的第一特征值估计.进一步地, Li-Yau[2]利用梯度估计的方法考虑了, 完备流形M 本身Ric> 0的情况, 得到了Laplace 算子的第一非零特征值估计. 然而, 这个估计并不是最优的. 1984 Zhong-Yang[3]给出了这种情形下的最优估计. 同样地, 在考虑带边的黎曼流形时, 1980 年,Li-Yau[2]证明了紧致带边流形M Ric≥0 ∂M 是凸的情况下,Neumann 边值条件下Laplace 算子的第一非零特征值估计.其他边值条件下相应的特征值估计问题也得到了(参考文献[4]).

当Laplace 算子推广到加权Laplace 算子时,加权Laplace 算子第一非零特征值也逐步被得到. 加权Laplace,定义为

其中Φ 是流形Mk的函数. 它是L2(M,dµ)上的一个自伴随算子. 称λ 是加权Laplace 算子∆Φ的特征值是指如果存在一个非零的函数u ∈C∞(M)满足

一般的,在这种情形下需要引入新的曲率条件,m-Bakry-´Emery Ricci 曲率

对于紧致无边的黎曼流形或者紧致带有凸边界的黎曼流形上加权Laplace 的第一非零特征值问题,Bakry-Qian[7]得到了一个在流形m-Bakry-´Emery Ricci 曲率有下界情形下第一特征值的统一的下界. 受到最近关于Ricci 孤立子和自收缩子研究的启发,通过假定光滑度量测度空间m-Bakry-´Emery Ricci 曲率,得到了许多关于加权Laplace 算子的梯度估计和特征值估计的结果.更多结果可以参考文献[8–10]以及它们的引用.

最近,在假定流形积分Ri……