庞忠艳

[摘  要] 学生学习的过程，必然会有出错的现象发生. 高中数学学习过程中，学生在解题过程中的错误非常常见，将其视作一种资源而加以利用，可以让学生的学习更加高效. 错题资源的有效利用，需要教师具有接纳学生出错的理念，需要有实践研究的态度，更需要教师有将其转化为学生学习力的策略. 实践中形成的教师收集错题进行错因分析、引导学生进行错因分析、让学生在正确与错误的解题思路的对比中运用分析归纳的方法，从而提高对数学知识的理解与运用，是错题资源充分利用的有效策略.

[关键词] 高中数学;错题资源;有效利用

从教师的教学预期来看，是不希望学生在学习中出错的，但这又是不可能的，于是面对学生在学习中出现错误的态度，就成为判断教师教学理念以及教学技巧的重要维度. 目前已经基本形成的共识是，教学中学生的错误是一个重要的资源，利用好这个资源可以让学生的学习过程变得更加科学合理. 在高中数学教学中，错误资源的主要存在于多个学习环节中，其中，解题过程中的错误由于具有一定的综合性，因而能够更好地反映学生的学习过程与解题思路，也因此具有重要的分析意义. 但从客观实际来看，数学教学中教师对学生的错误往往没有耐心去分析（毕竟大量的习题训练仍然是当前提升学生应试水平的主要手段），因而错失了许多利用错题资源提升学生数学学习能力乃至于数学学科核心素养的机会. 笔者在近年的教学中，一方面说服自己接纳学生的解题错误，并强制自己必须要跟踪学生在解题过程中出现的错误，从而确保理念与精力上对错题资源的价值有正确的认识;另一方面确立了部分跟踪的对象，以期对学生在解题过程中出错的原因进行更深入的分析. 通过这两方面的努力，还是取得了一些收获的，本文就对笔者的收获进行一个总结.

认识错题资源的价值

有一个古老的教导，那就是“失败是成功之母”，这常常被用来鼓舞人的斗志，但却让人忽视了背后的逻辑关系. 在笔者看来，失败之所以是成功之母，关键原因在于当事者厘清了失败的逻辑，实际上也就找到了成功的可能. 纵观任何一项科学与技术的发展，成功无不是建立在失败的基础之上的. 即使具体到高中数学学习的过程中，教师在认识错误的价值的时候，也应当形成这样的认识：抓住“错误”的契机，引发问题探究的切入点，我们的课堂就会因为错误变得更加精彩.

课堂的精彩源自于学生的学习精彩，而接纳学生的错误可以让学生更加精彩. 高中数学解题中，将学生的错误视作一种资源，这是认识论的进步. 而教师作为课堂实践的具体操作者，对错题资源的认识不仅应当是战略性的，还应当是战术性的.

举一个简单的例子，在学习集合概念的时候，常常会有给出集合求取值范围类的习题，而学生在初学时就是容易出现一些错误. 例如，这样的一道常规题：设A={x-1≤x≤1}，B={xa-1≤x≤2a-1}，若B？哿A，则实数a的取值范围是多少？对于这个问题，学生大多数会因为忽视空集的存在而出现解题出错的情形. 面对这样的错误，教师会做出什么样的选择？有的教师会通过同类习题进行重复训练的方式，给学生强化空集的概念，确保他们在解决类似问题的时候要考虑空集;有的教师则会让学生写错因分析，以试图培养学生在分析错误中形成认识的能力. 在笔者看来，这些努力都是有成效的，但也都是有缺陷的，这些方法实际上是通过教师强制性的力量去让学生的学习完成同化的过程，而事实上学生之所以出错，那是因为原有的认识或知识基础不足以解决此类问题，他们需要的是顺应. 因此笔者挖掘这类错题资源中的价值，结果发现了学生在出错背后的心理因素，从而就能够更好地寻找到解决问题的办法.

这样的认识获得，某种程度上讲正是笔者自己接纳学生错误并愿意分析学生错误的收获，正是由于這样的理念与投入的态度，使得这样的收获成为可能. 实际上还有一个收获，那就是教师对学生的错题原因的跟踪与分析，还会让学生对数学学习产生亲近感，最主要的原因就是学生会感觉到老师对自己的关心，这种持续的关心对于学生形成学习内驱力是非常有用的，其可以视作教师通过对错题资源的认同，进而形成了对学生非智力因素的激活，其可以促进学生对错误解题的自解决.

利用错题资源的价值

当然，教师接纳学生的错误，只是利用错题资源的第一步，并不意味着错题能够真正作为一种资源而存在. 要真正有效利用好错题资源，最关键的一点还是在于教师要有具体的错题资源利用的策略. 在笔者的研究中，发现了有同行提出了这样的思路：

错题是一种难得的教学资源，利用“错因类型+方法模块+变式题组”的三维模式，借助典型例子阐述如何合理地开发利用方法类错题，以发挥这类错题的最大价值. 通过学习与借鉴，笔者吸纳了其中的思想，并提出了适合自己（这一点很重要，笔者以为每一个数学教师都需要有一套适用于自己教学风格的操作办法）的错题资源利用的方法，具体可以分为三步：

第一步，教师对错题进行收集，归纳错因的共同点.

在数学学习的过程中，解题无处不在，也正因为如此，所以错误的解题过程也无处不在. 很多时候学生对自己的错误会采取“无视”的态度（原因是多样的，这里不赘述），因而也就容易错失利用错题资源的机会. 因此此过程中，教师的作用不可或缺，而这个作用发挥的基础，就是对错题进行收集.

收集错题的最基本的方法，就是在一个阶段内教师基于自己对作业的批阅、对考试试卷的分析，然后挑选出具有一定典型意义的错题（不一定是面向全班的，也可以是面向一个小群体的错题），然而面向相应的学生进行讲解.

例如，在函数知识的教学中，学生容易对函数范围与函数值域的概念发生混淆，结果就导致了解题出错. 这个时候挑选出学生出错的题目进行分析，就具有一定的益处. 例如，这样的一道易错题：已知函数y=3x2-2（m+3）x+m+3的值域为[0，+∞），那么实数m的取值范围是多少？

学生容易出错的原因在于：很多时候，学生都会根据题目中给出的y的值域，并结合y≥0的条件，得出-3≤m≤0的结果. 归纳出这个错误原因，下面的教学就容易展开了，不过要注意的是，教师不要急于将自己归纳出来的错误原因提供给学生，而是一定要给足时间让学生自己去比较发现.

第二步，引导学生分析错题.

教师判定错误之后，肯定会打破出错学生的认知平衡，他们的第一反应就是去寻找正确答案. 通常情况下，学生会通过看参考答案（如果教师提供了）或者通过小组讨论的方式，将自己的错误思路掩藏，但这个掩藏常常是不成功的，因为下次遇到类似的问题时还会出错，因而需要教师引导学生切实进行分析.

例如上一题，最直接的问题是：错在哪里？从结果上来看，错误结果-3≤m≤0与m=0或m=-3的区别在于前者是范围而后者是两个实数，那肯定是在判定某个概念时发生了错误. 那到底是什么呢？通常情况下，学生会让自己去理解正确思路为什么正确，如本题中可以对y=3x2-2（m+3）x+m+3进行处理，然后用带有m的式子去表示y的值域，最终求解. 对于学生的这一自然选择，教师不要急着让他们分析错误的原因，先建立正确的思路，也是有价值的，这个价值就体现在下一步.

第三步，在对比正确与错误思路的过程中生成解题能力.

这一步的关键是教师引导学生去对比，把什么与什么对比呢？就是把现有的正确思路与原有的错误思路进行对比. 如果不出意外，学生此时会努力回忆自己当时解题时的思路，但是相当一部分学生难以回忆成功，因而就需要教师提供已经回忆出来的学生的答案供他们参考. 待学生眼前有了错误思路与正确思路之后，一定要让学生自己去对比，去发现自己错在哪里. 只有这个发现是自主的，那这个教学过程才是成功的，因为学生发现错误，实际上就意味着以后能够规避这种错误.

錯题资源培育学习力

如上所述，可以发现一点，那就是“在数学教学中利用学生的错题资源，进行整理、归纳、变式，既避免了搞题海战术，又培养了学生的能力，可达到事半功倍的作用”.

说其作用是事半功倍一点都不夸张，因为这样的错题分析，是指向学生的学习力的，这种能力是可以迁移到其他数学知识的运用中的. 实践证明，这样的努力可以让学生形成对比意识，从而在对比中发现自己的知识缺陷，发现自己在解题时所表现出来的不足，而这就是学习力的体现.

毫无疑问，高中数学学习是需要学习力来支撑的，学习力不是一个空洞的概念，而是指学生在学习过程中表现出来的观察、比较、分析、归纳、综合、演绎、概括等能力，这些能力在错题分析与正确和错误的比较中更容易生成，这也是错题资源的充分体现.

总之，高中数学教学中，要高度重视错题的价值，要充分发掘其价值，真正将其作为一种资源而加以利用，只有这样，才能让学生的学习真正从失败走向成功.