胡传兴

摘 要：在立体几何中虽然多面体的家族很庞大。可是正多面体的成员却很少，仅有五个。正多面体是立体几何中比较特殊，而且内涵较丰富的几何体，而正四面体是其中最简单的正多面体，并且它与另外一个特殊的几何体——正方体有着千丝万缕的联系，因此在各种考试中它深受命题老师的青睐。要想在碰到四面体时能犹如庖丁解牛一般地游刃有余，教师有必要且必须弄清楚它的来龙去脉，也就是它的前世今生是什么。

关键词：高中数学;关系问题;正四面体

图1：如图取正方体的四个顶点M，B，D，S并连接MB，MS，MD，SD，SB，DB。因为四面体M-BDS的各棱均为正方体的面对角线，因此各棱长均相等，所以四面體M-BDS为正四面体。由此可知正四面体的前世就是正方体的一部分，那么正四面体的各种性质都可以放在正方体这个平台来考虑，并且当我们碰到正四面体时首要考虑的是它的由来，因为这是它的本源。例如正四面体M-BDS的外接球的问题，由图1可知，正四面体的外接球与正方体ABCD-SEMN的外接球是同一个球，所以当涉及正四面体的外接球时就可以用正方体的外接球。下面我们看看利用正四面体的前世今生是如何化繁为简的吧。

一、正四面体与球及正方体的关系问题

BCD的6条棱相切的球即为正方体的内切球。

二、涉及正四面体的线面关系问题

例3.已知正四面体A1-BDC1，其外接球为球O，一平面α过棱A1B截球O的截面面积为S截，请问当S截取最小值时，A1C1与平面α所成角为多少？

解：由球的性质可知，任意平面截球所得的截面图形为圆。所以平面α过棱A1B截球的截面为圆，且A1B为圆的一条弦。

∵A1B是截面圆的一条弦。

∴如图4当截面是以A1B为直径的圆时，此时圆的半径最小，截面面积最小，此时平面α即为正方形ABB1A1所在的平面。

∵直线C1B1⊥平面ABB1，

∠CA1B1即为直线A1C1和平面ABB1A1所成的角。

又∵∠CA1B1=45°

∴A1C1与平面α所成角为45°

三、实际生活中的正四面体

由于正四面体的特殊性，命题老师也会经常改头换面以其他形式来考查正四面体。

总之，当我们弄清了正四面体的前世今生以后，无论试题中正四面体以怎样的形式出现，无论考查正四面体的何种几何性质，我们都能简单清晰地看出问题的真相所在，都能找到简单而高效的方法。

参考文献：

[1]甘志国.补形法，正四面体的最佳解法[J].数学教学通讯，2011（8）：39.

[2]段春华.数学题集锦：1.正四面体的一个有趣性质的证明[J].中学数学教学，1992（5）：44.

编辑 谢尾合