周明墩

摘 要 三角形“四心”（如垂心、重心、外心、内心）与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点，考生解决此类问题时错误率较高，甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义，利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。

关键词 向量解法;三角形;四心

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）03-0203-02

三角形“四心”（如垂心、重心、外心、内心）与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点，考生解决此类问题时错误率较高，甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义，利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。因此笔者搜集了部分资料，结合多年积累的教学经验，就三角形“四心”与平面向量的联系作一个归纳，并利用平面向量的相关知识求解三角形“四心”的问题。

一、垂心（orthocenter）——各边高线的交点：高线与对应边垂直

【典例】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的垂心。

分析：由题意得：

，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹过的垂心，如图1所示。

点评：本题考查平面向量的有关运算，两向量数量积为零它们所在的直线垂直，三角形垂心定义等相关知识的巧妙结合。

二、重心（barycenter）——各边中线的交点：重心将中线长度分成

【典例】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，求证：的轨迹过的重心。

分析：由题意得：，当时，表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹过的重心，如图2所示。……