☉江苏省宜兴市官林中学 李俊峰

☉江苏省宜兴市官林中学 蒋 敏

数学世界浩瀚如海，代数几何变幻无穷，解析几何架起桥梁，数形结合化险为夷.在每一道数学问题的内部都存在着一定的条件和关系，要想对其攻克，应观察其具体特征，认真分析、思考、探究，在细致、透彻、深入的透视中，把握问题的内涵与本质，从而确定解题思路，找到解题方法，欲知故事如何发生，让我们“相约”平面直角坐标系.

一、攻克平面几何证明题

平面几何证明一向是个难点，难就难在辅助线的添加，而解析几何的“加入”，能让我们免去添加辅助线的烦恼，有例为证！

例1如图1所示，在▱ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AF交BD于G，H.求证：H，G三等分BD.

图1

分析：建立平面直角坐标系，

证明：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，设B（b，0），D（a，c），则C（a+b，c）.

图2

连接AC交BD于点M，可知G、H分 别 为 △ABC及△ACD的重心，由此可得在第一象限内画出图形，写出直线BD、AE、AF的方程，最后，求出直线AE、AF与BD的交点坐标，不难发现，这涉及比较麻烦的运算过程.基于此，能否探寻一条路径来简化运算呢？已知E，F都是中点，通过中点联想并运用与之相关的几何性质，我们就可以开辟出一条新的解题路径.

由两点间的距离公式可得：

即H、G三等分BD.

评注：欲证线段三等分，即证三线段相等.几何问题代数化，建立平面坐标系.重心坐标来联系，算出长度看关系.距离公式显神奇，算得长度都一致.

二、巧求函数的最值

有关函数的最值问题或许我们会觉得不难，可遇到两个根号里含有自变量的函数时，往往叫人“情以何堪”，这时，解析几何就帮了我们大忙！……