☉安徽省合肥市第一中学 孔祥士

含有一个参数的单变量不等式恒成立并求参数的取值范围问题，是高考的一个高频考点，同时也是一个难点，通常在高考导数题中出现.如何突破这个难点，找出解决问题的一般规律与方法呢？有很多同学对此感到非常困惑，笔者抛砖引玉，通过几道高考试题来探寻此类问题的解题策略.

一、策略探索

（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

试题分析：（1）略.

（2）当x≥0时，f（x）≥0，只需要f（x）min≥0，但是直接求导数f′（x）=ex（x+1）-2ax-1，再通过导数判断函数的单调性来求函数的最小值难以做到，这就需要先对不等式f（x）≥0做适当转化，f（x）=x（ex-1）-ax2=x（ex-ax-1）≥0，即ex-ax-1≥0，进而去求解问题.

策略一：将不等式f（a，x）≥g（a，x）适当化简后，所有项都移到不等号的左侧，右侧为0，转化为含参数a的函数h（x）≥0，讨论参数a，只需h（x）min≥0即可.

解法一：当x≥0时，ex-ax-1≥0恒成立.设h（x）=exax-1，则h′（x）=ex-a在［0，+∞）上单调递增，h′（x）min=h′（0）=1-a.

①当a≤1时，h′（x）≥h′（0）=1-a≥0，所以h（x）在［0，+∞）上单调递增.所以只需h（x）min=h（0）≥0.又h（0）=0，所以h（x）≥0恒成立.

②当a＞1时，h（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以当x∈（0，lna）时，h（x）＜h（0）=0，不符合题意，舍去.

综上所述：a≤1.

策略二：x∈［x0，+∞）时，f（x）≥k恒成立，若f（x0）≡k（与f（x）中的参数a无关），则必有f′（x0）≥0，进而缩小对参数a的讨论范围，通常状况在这个必要条件下a的范围

例1（2010年新课标全国卷第21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.也恰好是问题成立的充分条件.

解法二：设h（x）=ex-ax-1，则h′（x）=ex-a，注意到h（0）=0，所以要使x∈［0，+∞）时，h（x）≥0恒成立，必有h′（0）=1-a≥0，所以a≤1.

又当a≤1时，h′（x）≥h′（0）=1-a≥0，所以h（x）在［0，+∞）上单调递增.所以h（x）≥h（0）=0恒成立.

综上所述：a≤1.

策略三：不等式f（a，x）≥g（a，x）恒成立，可以分离参数和变量，转化为a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，则只需a≤h（x）min（或a≥h（x）max）.

解法三：当x≥0时，ex-ax-1≥0，即ax≤ex-1恒成立.

①当x=0时，不等式恒成立，a∈R；

②当x∈（0，+∞）时，ax≤ex-1可转化为设，则

设φ（x）=ex（x-1）+1，则φ′（x）=xex＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上单调递增.所以φ（x）＞φ（0）=0.所以＞0.所以h（x）在……