☉西安交通大学附属中学 任 栋

众所周知，圆锥曲线的第一定义为到两定点距离之和或差的绝对值为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线；第二定义为到定点和定直线距离之比为定值e（＜，=，＞1）的点的轨迹为椭圆、抛物线或双曲线.这篇文章主要讲圆锥曲线的第三种定义.

图1

若设P（x，y）为椭圆上的一点，（-a，0），（a，0）为其左右顶点，用kAB表示直线AB的斜率，其余类似，则上式的几何意义为：

当然上面的左右顶点也可以替换为上下顶点，事实上，只需要此两点在椭圆上且关于原点对称即可.此即为椭圆的第三定义：

1.设点A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上且关于原点对称，点P（x，y）在椭圆C上，AP，BP的斜率分别为k1，k2，则k1k2为定值，且

证明：依题意（x2，y2）=（-x1，-y1），且点A和点P都在椭圆上，

注：（1）显然为椭圆的离心率.对于双曲线，只需要把椭圆标准方程中的b2换成-b2即

2.A、B为椭圆（a>b>0）的左、右顶点，DB⊥AB，AD交C于M，BM交以BD为直径的圆于T，若O，T，D三点共线，求椭圆C的离心率e.

图2

思路分析：由1知AM、BM的斜率乘积为定值，又由DT、BT的斜率乘积为-1，代入消去D的纵坐标，得到含a，b的等式即可.

解：依题意设D（a，y），则A（-a，0），由1知：

（2）本结论非常重要，故有人称之为圆锥曲线的第三定义.不过这个称呼不是很正规，希望大家在考试中不要随意使用此名称.

（3）为了避免出现直线斜率不存在的情况，本结论加上一句话“如果AP、BP的斜率存在”会更加严谨一些.不过为了避免啰嗦，也可以在运算中引入无穷以避免上述特例.

下面总结一些本结论的应用：

以下各题都假设直线l：y=kx+m与椭圆（a>b>0）交于A、B两点.

3.若l与x轴交于点T，A′与A关于原点对称，A′B⊥AA′，则kA′T∶k是否为只和e有关的定值？