☉安徽省合肥市第七中学 彭晓芹

美国著名的数学教育家G·波利亚说过：“观察可能导致发现，观察将提示某种规则、模式或定律.”在解决一些相关的数学问题时，有时我们通过深入观察，多思维拓展，往往会有意想不到的收获.

问题如图1，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C在弧AB上若则x+y=______.

图1

分析：本题涉及平面几何图形背景下平面向量的线性关系中相关系数的和的求解问题，综合平面几何、平面向量、三角函数等相关知识，交汇性多，创新性强.可以通过坐标法借助平面向量知识来处理，也可以通过几何法借助平面几何知识来处理.

解法1：以O为坐标原点，以OB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，则知，设C（m，n）（其中m＞0，n＞0），可得m2+n2=1.而，可得，并与m2+n2=1联立，解得.而可 得+y（1，0），解得，所以

故填答案

图2

图3

解法2：如图3，连接AB交OC于点D，过D，C分别作DE⊥OB，CF⊥OB，垂足分别为E，F.

设OE=x1，在Rt△ODE中，

在Rt△DEB中，则有OE+BE=，可得

在Rt△ODE中

点评与拓展：通过多个知识点的交汇，综合动与静，交汇数与式，真正达到完美的统一.其实，通过对本题的深入观察与研究，根据条件进行拓展，可以将此类问题进行深化与变式，从而开拓解题的深度与广度.

变式方向1：改变条件，探求系数代数式的值问题.

变式1：如图1，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C在弧AB上，若∠BOC=30°，则x+y=______.

解析：如图4所示，过点C作CD∥OA交OB的延长线于点D，过点C作CE∥OB交OA于点E，由于∠AOB=120°，则有∠ODC=60°，而∠BOC=30°，所以有∠OCD=90°.

图4

而OC=1，可得

变式方向2：减少条件，探求系数满足的关系式问题.

解析：以O为坐标原点，以OB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系……