☉浙江省台州中学 毕里兵

高考压轴题往往是对学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等能力的考查，蕴含着丰富的数学核心素养的高考压轴试题也是发展学生思维的优秀素材.

一、标题疑惑

题目：已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）略.

标准答案：由题意知f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，则f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一个零点.

②若a＞0，则当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0.因此f′（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b满足b＜0且b＜，则，故（fx）有两个零点.

③若a＜0（步骤省略），f（x）没有两个零点.

综上所述，a的取值范围为（0，+∞）.

这是命题组所提供的的标准解答，很多学生对当a＞0时，为什么取，使，感觉突然且无法体会其中的思想.

二、问题探究

笔者及时观察到了学生的这一疑惑，并提出了以下问题：当a＞0时，函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有几个零点？引导学生从这一问题展开导思研究活动.

师：大家在研究函数的零点上有哪些经验呢？

众生：解函数零点问题是有理可循的，解题时应注意数形结合，利用导数来对函数的图像与性质进行研究是解决此类问题时惯常所用的.

图1

生1：f′（x）=（x-1）（ex+2a），当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，1）上单调递减，f（1）=-e＜0.如图1，f（x）在（-∞，1）与（1，+∞）上各有一个零点，故a＞0时，f（x）有两个零点.

师：大家怎样看待这一解法？

生2：f（x）的图像两侧并不一定都是向上无限延伸的吧？

生3：我也觉得，由零点存在定理可得，要在（-∞，1）与（1，+∞）上各找出一个数使其函数值大于零.

师：当x→±∞时，f（x）→+∞，说明生1所作图像没错，直觉能够帮助思维的形成与发展，但代替证明显然是不行的.

众生：为了不含ex项，取x=2，f（2）=a＞0，又f（1）=-e＜0，因此f（x）在（1，2）上有一个零点.当x＜1时，f（0）=a-2，，对小于1的自变量，使函数值大于零的值是无法取到的.