刘永智

摘要：网格作图除了使用直尺之外，不能使用其他的作图工具，这使得作图难度加大，并且对几何理论的要求及灵活性都有较高的要求，因此，要摸索问题与定理证明的相似性，培养学生联想问题的能力，寻找问题解决的突破口.

关键词：网格作图;勾股定理;作图

1 题目呈现

题目 （2014年天津）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

（1）计算AC²+ BC²的值等于____;

（2）请在如图1所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于AC²+BC².并简要说明画图方法（不要求证明）____.

2 题目探析

对于问题（1），因为AC=√2，BC =3，因此，AC²+BC²=11.

看到问题（2）这样的作图问题，我们觉得其形式有点像勾股定理，能不能用欧几里得证明勾股定理的思路来做这道题呢？

为此，先来看看欧几里得证明勾股定理的方法：

如图2，分别以Rt△ABC的三边a，b，c为边向形外作正方形ACHF，正方形BCGK，正方形ABED，连结CD，FB，过点C作CL⊥DE交AB于点M，交DE于点L.

通过勾股定理的欧几里得证明我们可以看出利用作平行线的方法可以做到三角形面积与矩形、平行四边形等面积之间的相互转换，利用全等可以将一个图形的面积转换为另一个与它全等的图形的面积，利用这个思路，我们可以尝试求解问题（2）.

因为问题（2）中的△ABC不是直角三角形，不能利用将以AB为边的正方形切割为矩形，使其面积等于以AC和BC为边的正方形的面积和.因此可利用如下做法：

分别以△ABC的三边AC，AB，BC为边向△ABC外作正方形ACDE，正方形ABDE，正方形BCHI，如图3所示，要作出一个以……