袁春娟

[摘  要] 高中数学教学中需要关注学生的认知过程. 关注学生的认知过程通常从数学学习所需要的先前经验以及建构过程等角度进行，同时在问题解决的过程中，学生的认知可以得到充分的发展. 数学教师基于经验并从认知角度寻找教学研究的切入口，对教师的教与学生的学都有积极意义.

[关键词] 高中数学;认知过程;复数

关注学生的认知过程，已经成为有效教学背景下高中数学教师的共同认识[1]，更多的挑战在于如何关注学生的认知过程. 应当说在学生相对熟悉的数学知识的学习中，学生的认知过程所体现出来的不同并不明显，因而不能引发教师的研究冲动. 而在一些相对复杂的知识学习中，学生的认知过程则会与惯用的认知有所不同，因而可以引发教师的注意与研究的冲动（当然，前提是教师要有关注学生在数学学习中的认知的意识，如果缺少这个意识前提，那任何知识的学习过程都无法引起教师的重视）. 在高中数学知识序列中，“复数”是一个相对特殊的知识，学生在认识复数的概念、运用复数的运算规则进行运算的时候，有着显著的异于传统的对数的认识的地方，因而也就引发了笔者基于其对学生的认知过程进行研究的兴趣. 笔者在研究的过程中，对学生的认知过程的关注主要围绕以下三个方面：

关注学生在数学学习中的先前经验

认知发展理论对学生在学习过程中的先前经验（又称前概念）有着相当的重视，著名认知心理学家奥苏伯尔的名言“如果要我将全部教育心理学归纳为一句话的话，那我将一言以蔽之，那就是弄清学生已经知道了什么并据此进行教学”，在这里，“学生已经知道了什么”实际上就是学生的先前经验. 研究表明，学生在生活与学习中的经验是可以支撑新知识的学习的[2]，但这些经验能否发挥作用，还得看教师如何刺激学生的经验系统. 如果忽视学生的先前经验，学生的学习过程会变得非常困难，如果学生的先前经验对学习起到负面作用，那还会阻碍学生建构新知识，因而我们关注学生的先前经验，实际上是要思考如何发挥先前经验的积极作用.

复数这一内容的学习，之所以让学生感觉到困难，一个重要的原因，就是学生已有的关于实数及其运算法则的理解这一先前经验，会影响学生构建复数这一概念. 例如，最简单的两个未知数的平方和为0，那这两个未知数肯定就等于0，这样的认识在学生的思维中根深蒂固. 而此前学生所遇到的大多数与数有关的问题，往往都有“属于实数”这一前提条件，因而学生实际上已经形成了在实数范围内进行问题解决的思维模式，这种模式对于学生来说是内隐的，但作用的发挥是明显的，其既保证了学生在实数范围内能够有效地解决问题，也使得学生在面对复数概念的构建时遭遇新的问题.

因此可以说，在复数教学中，最需要研究的先前经验就是学生对实数的认识. 那如何在实数认知的基础上拓宽学生的视野，使得学生更快地接受复数呢？笔者采取的策略有两个：一是给学生介绍数的发展史，让学生认识到数的发展与数学发展中遇到的问题有关. 当人们的认识尝试突破“两个数的平方和为0，那这两个数是否一定为0”时，实际上就意味着新的研究开始了，人们对数的研究也就进入了复数视角. 二是既然数的范围扩大了，那相应的运算法则也就需要重新建构，这就意味着在实数领域内适用的运算法则，到了复数范围内可能就不适用了. 关于这一点，学生其实可以从相关学科的学习中获得理解（这其实也是学生的先前经验，只不过这个经验是由其他学科提供的而已）.

实践证明，这样的介绍与引导往往只要几分钟的时间，但却可以从认识上引导学生冲出原有的经验系统，从而将数学学习的眼光拓展到实数之外，而这个意识一旦形成，就扫除了复数学习的一个重大障碍.

关注学生在数学学习中的建构过程

这里用建构一词指称学生在数学学习中的认知过程，有两层含义：一是建构主义学习理论中，学生的主动建构与数学学习过程确实存在诸多吻合，因此即使该理论受到不少专家的批评，但笔者仍然以为其对一线教师的教学有着直接且简洁的启发，也就是说可以让教师更好地接触教学理论，这是其他学习理论所不具备的功能. 二是学生在数学学习中所表现出来的建构性，实际上就是一种认知发展，一个数学概念或规律是如何被学生成功建构的，对于这个问题的回答实际上就是对认知发展过程的关注.

在复数知识的学习中，有一个重要的内容，就是让学生去掌握复数的不同表示形式. 这些表示形式在教学中如何递进，实际上是有学问的. 之所以常常先介绍代数表示，即a+bi（a，b∈R），就是考虑到学生在学习的过程中，面對类似于a2为负或者两数平方和为0这样的问题，即使需要在实数认识的基础上进行拓展，那也最好不要完全脱离实数认识. 因此，代数表示形式就是第一选择，因为这样学生建构起来最顺利.

其后，向量形式的教学的挑战性在于，如何让学生在代数形式的基础上生成向量认识. 通常情况下，只凭学生的自主努力，是难以有突破的，更重要的方式应当是教师的“催产”，即在代数表示的基础上，让学生从复数的模的角度，将代数表示形式转换为几何表示形式，于是学生的思维就有可能发生突破. 实际教学中，在学生看到复数的代数表示形式可以转换为平面直角坐标系上的向量表示，而代数形式中的a和b就对应着向量的横坐标与纵坐标时，学生所构建出来的关于复数的向量表示形式也就清晰了.

再后面，三角形式的教学就具有挑战性了，一个复数如何与三角函数形成联系，这对于学生的建构而言，挑战在于引导学生发现用三角函数表示复数的可能性，而这又可以从复数的向量表示形式入手（在这一环节的教学中，实际上学生形成的关于复数的向量及代数表示形式，已经由新知识转变成了学生的先前经验），于是在z=a+bi化为三角形式z=r（cosθ+isinθ）的过程中，笔者重点设计了表示形式的转变.

当然，基于不同的设计理念，复数的表示形式教学的顺序可以做出调整. 这其实是一个重要的判断，这意味着在不同的教学设计中，学生的认知过程是不一样的，而我们从宏观层面强调教师的主导作用，实际上也就体现在这些方面.

从认知过程的角度来看，复数的表示形式这一内容的学习中，学生的认知以思维为主线，以符号感的培养为形式. 也就是说，学生在复数的表示形式的建构过程中，思维发挥着无可替代的作用，认知发展的过程就是学生不断思维的过程. 在这个过程中，学生发现运用不同的符号形式（或者说系统），可以对同一个复数进行不同形式的表示，形非质同的背后，是复数所表现出来的对不同形式的概括性，这客观上加深了学生对数学学科的认识，即不同表示形式（数形不同）在复数这一知识上的完美的同时展示，这种认识在其他知识的学习中相对较难出现（圆锥曲线的学习也是一个例外，不同的圆锥曲线可以从同一个平面截圆锥面中出现，这是令学生赞叹不已的）.

关注学生在数学学习中的数学运用

数学运用对应着数学教学研究中的另一个热点，即问题解决. 问题解决的过程对于学生的数学学习来说，是一个应用性强、综合性强的过程. 这个过程中，学生的认知过程十分丰富，如果真从认知角度进行详细的解析，对于一线教师来说是有着非常大的困难. 幸运的是，教师自身在教学中积累下来的经验，可以让教师有着丰富的缄默知识，从而支撑自己从教学研究的角度对数学运用中的学生认知做出一定的解析与判断.

复数这一知识的学习中，学生的问题解决主要体现在利用复数运算法则去解决一些数学习题. 固然，数学习题不是真正的数学问题，但在高中数学的视域下，其已经能够体现问题解决的若干要素了. 当然，如果能够从与学生关系更为密切的生活元素中提取与复数相关的问题，那更容易激活学生的认知过程. 比如，说有人设计了这样的一个问题：如果在一块大的平地上，一个人从某點出发沿直线前进a米，然后左转一个角度（小于180°），然后重复这样的一个过程，问这个人满足什么样的条件才能回到原来的出发点？

这个问题对于学生来说既激趣，同时也能激发学生的探究欲望（认知过程即在探究的过程中）. 通常情况下，学生会在草稿纸上作草图，以尝试构建一个初步表象，而在复数学习时提出这个问题，学生自然会尝试用复数的知识去完成问题的解决，而直觉会让学生运用三角表示形式……在思维展开的过程中，学生会将题目中的人走过的每一段用复数形式表示出来.

在这样的问题解决中，学生的认知过程复杂且有效，其既增加了学生对复数知识的理解，同时也促进了自身认知能力的生长，是真正有效的数学学习过程. 因此，在高中数学中关注学生的认知过程，于生，于师，都是极有价值的事情.

参考文献：

[1]  徐小军. 高中数学课堂高认知水平任务教学案例研究[J]. 中学生数理化（教与学），2016（5）.

[2]  刘文蛟. 高中生数学认知理解的过程研究[J]. 数学教学通讯，2016（12）：2-3.