刘勇

摘  要：学生在解答一些题目时，可通过一些合理的变换，让题目由繁入简，进而培养他们不断探究和创新的意识，提高他们的数学素养。

关键词：拼凑;等换;构造;特殊

我们在解答一些数学题目时，可对图形进行一些合理变换，这样有利于学生将复杂的问题变得简单，培养他们不断探究、创新的意识，从而进一步提高他们的数学素养。本文将从以下五个方面来进行讨论。

一、整移拼凑

一些题目中的图形求解部分是分散开的，这时我们可以对这些部分进行重组，拼凑出一个易于计算的形状。这样做不会使所求部分的形状发生变化。

例题：图1大圆中画了四个一样的小圆，且大圆半径是小圆半径的两倍，已知小圆半径是r，求图中阴影的面积。

若我们把各个阴影部分的面积求出再加起来，这很难做到。若我们将这些阴影部分相加变为图2，这个阴影部分就成了圆的，阴影部分的面积也就很好求出了。

如图3的直角三角形，由斜边为29的红色直角三角形，斜边为49的蓝色直角三角形以及黄色正方形组成，求蓝、红纸片的面积之和。

要求这两张纸片和，但我们只知斜边，不知道高，很难求出面积，若我们试着将这几个部分重组，变为图4，则一个新的直角三角形出现在我们面前，这个直角三角形的面积我们可以很简单地求出。

圆的半径是r，若以其半径作为一个新圆的直径，做出两个圆，求图5阴影部分的面积。

此题中的阴影部分是不规则的，很难求出其面积，这时我们试着将这个阴影部分进行切割，形成如图6的这个等腰三角形，而等腰三角形的面积就很容易求出来了。

二、面积等换

这种方法与整移拼凑有着异曲同工之处，都是将图形进行一系列的变化，这两种方法的不同之处在于，面积等换的方法是改变形状，但不改变图形的面积。

在图7中，两个正方形放在一起，大的边长是10厘米，求阴影的面积。

此题中，我们只知大正方形的边长，不知小正方形的边长，所以，我们要尽可能地将此阴影部分转化到大正方形中。我们连接AB两点，即可得到AB与CD平行，若将A点沿着AB这条线段移动到点B，可得三角形ACD的面积与三角形BCD的面积相等，使得原题中的阴影部分面积维持不变，也就是将原题中的阴影部分变为的圆的面积。

三、构造法

有些题目我们通过已知条件或者拼凑转化都很难求出答案，这时候可以将图形构成另一个比较容易解答的图形，再来解答。

如图9，该四边形中的AB等于7，CD等于3，∠ABC是45°，求出该四边形的面积。

在该四边形中，∠A=90°，∠ABC=45°，从这两个已知条件中，我们可以试着构造出一个等腰直角三角形ABE，就如图10，即可得出∠E=45°，那么三角形CDE也是一个等腰直角三角形，且CD=3，AB=10，我們可以很容易求出这两个三角形的面积，而图9中的四边形的面积是大的等腰直角三角形的面积与小的等腰直角三角形的面积之差。

如下题，在直角三角形ABC中，AD=20，CE=5，求图中阴影部分的面积。

原题中，只给了两条线段的长度，通过这两条线段的长度很难求出该阴影部分的面积，我们可以试着以此直角三角形为基础，构造出一个如图12的长方形，那么AC就是该长方形的对角线，平分了该长方形的面积，同理可得CF也平分了长方形CEFG的面积，AF平分了长方形ADFI的面积，那么就可以得到长方形BDFE的面积等于长方形FGHI的面积，而且题目已知了AD=20，GF=5，即GH=20，GF=5，从而很容易求得该阴影部分的面积。

四、特殊代入

例题：如图13，有一个平行四边形ABCD，在该平行四边形内有存在一点P，使得三角形ABP的面积等于2，三角形BPC的面积等于5，问三角形BDP的面积为多少？

我们可以这样来分析，P点存在于平行四边形ABCD内，该P点是一个无法确定其位置的一点，它会根据边的长度的改变而发生改变。这时，我们将P点进行特殊化，让P点落于AD这条边上，如图14，此时三角形BPC的面积是平行四边形面积的一半，三角形ABD也是平行四边形ABCD面积的一半，也就是说这两个三角形面积相等，我们已知了三角形ABP的面积等于2，三角形BPC的面积等于5，自然而然三角形BDP的面积就等于5-2=3。

例题：图15由两个等腰直角三角形组成，这两个等腰直角三角形的直角边都为8.8厘米，且其中一个等腰直角三角形的直角顶点在另一个等腰直角三角形斜边中点的位置上，这样就构成了图15中的阴影部分，求出这个阴影部分的面积。

我们可以这样来分析，图15中的阴影部分是一个不规则的四边形，要求出它的面积，我们仅仅通过已知这个等腰直角三角形的直角边是很难求出的，但题中说了，这两个直角顶点是在两条斜边上移动的，我们不妨将不在斜边中点的这个直角顶点旋转至斜边中点的位置上（如图16），这两个图形中阴影部分的面积是相等的，具体的证明过程这里就不写出来了。这样我们要求出图15中的阴影部分的面积就是要求出图16中边长为4.4厘米的正方形的面积。

这类特殊值的代入方法，是通过对图形进行合理的变换，在不改变原题意思的基础上，让这些问题变得更易理解，从而解答起来更加快捷。

以上的这些方法，都只是个别案例，在很多情况下，我们会遇到一些综合性很强的题目，这就要求我们对上述几种方法进行综合运用。

五、综合运用

在某次的华杯赛的决赛上有这样一道题目：在四边形ABCD（如图17）中，已知AB=CD=15，∠B=105°，∠A=∠C=45°，求出该四边形的面积。

这个四边形的面积要怎么求，无从下手，但解决这种问题的方法也就那么几个，都来试试看。第一步整移拼凑，看能否将这个不规则的四边形拼凑成一个规则的四边形。我们连接BD，将三角形BCD往下移动，使得CD边与AB边重合，即可得到一个规则的四边形（如图18），因为∠BAD=∠B′C′D′=45，所以AD∥B′C′，同时BD又与B′D′相等，因此该四边形ADBB′是一个等腰梯形。

但求得梯形并不能直接求出该四边形的面积，我们再用割补的方法来拼出一个正方形（如图19）。这样我们将原本不规则的四边形转化成一个正方形，又得知正方形对角线的长度，面积就是15×15÷2=112.5。

这种综合运用的方法虽能大大降低问题的难度，但要求学生对这几种方法充分理解并且掌握。通过这一系列的方法，使学生的解题思路更加清晰，同时也拓展了学生的思维能力，培养了他们的创新意识。

作者简介：刘勇（1981-），本科学历，中小学一级教师，主要从事小学数学教育教学。