江苏省泰州市智堡实验学校

李光红 (邮编：225300)

笔者前不久翻看2018年的中考题，其中有两道题引起笔者浓厚的兴趣，进而进行了深入思考，请看这两题：

例1 (2018年无锡中考)如图1，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(6,4).

图1

(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法，但要保留作图痕迹.)

(2)问：(1)中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.

分析第(1)题考虑到矩形的中心对称性，过B作BA⊥x轴于A点，过B作BC⊥y轴于C点，则△AOC≌△CBA，所以AC符合要求；第(2)题受第(1)题的启发，只要作出直线AC使△ABC与△AOC全等即可，考虑轴对称性，连接OB，作线段OB的垂直平分线分别交x轴和y轴于点A和点C，则△AOC≌△ABC，直线AC符合要求，进而求出直线AC的函数关系式.

如图1所示：

图2

进一步思考：以上共有两种作法，会不会有其他作法呢？

我们知道，若△ABC与△AOC全等，必然能使∠ABC=∠AOC=90°，△ABC与△AOC的面积相等；但是其逆命题正确吗？通过研究发现其逆命题是正确的.下面我们来证明一下：

已知：如图2所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(6,4)，作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.

求证：△ABC与△AOC全等.

证明因为∠ABC=∠AOC=90°，

所以AO2+CO2=AC2，

AB2+CB2=AC2，

所以AO2+CO2=AB2+CB2，

①

又因为△ABC与△AOC的面积相等，

所以2AO·CO=2AB·CB，

②

①+②，得：AO2+2AO·CO+CO2=AB2+2AB·CB+CB2，

即：(AO+CO)2=(AB+CB)2，

因为AO+CO>0，AB+CB>0，

所以AO+CO=AB+CB，

③

①-②，得：AO2-2AO·CO+CO2=AB2-2AB·CB+CB2，

即：(AO-CO)2=(AB-CB)2，

所以AO-CO=±(AB-CB)，

④

由③、④联立，可得：AO=AB，CO=CB或AO=CB，CO=AB.

两种情况均能得到△ABC与△AOC全等.

因此，符合条件的作法有且只有两种！

例2 (2018年南京中考)结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.……