江苏省南通市天星湖中学

钱 鹏 (邮编：226010)

解析几何问题往往延续初中平面几何中点、线段、直线以及平面几何图形等的关系，结合平面几何的方法或坐标法来处理一些相应的问题，特别是一些相应的最值问题等，越来越成为命题者青睐的考点之一．特别，此类问题往往是创新的重要场所之一，通过巧妙设置来综合应用．

1 问题呈现

【问题】(河南省中原名校2019届高三第一次教学指导卷·15)已知线段|AB|=24，直线l∥AB，且直线l到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|×|BP|的最小值为．

本题既有初中平面几何的问题背景，又有高中解析几何的问题定位，巧妙把初中平面几何与高中解析几何加以交汇，延续初中与高中数学知识的连续性与综合性，具有一定的创新与综合功能.

2 多维探究

探究1不同的问题切入视角会有不同的思考，对应不同的解法．那么，本题有哪些不同的解法呢？

图1

解法1(坐标法)通过建立平面直角坐标系，引入坐标，利用点的坐标以及两点间的距离公式来建立相应的两线段的乘积|AP|×|BP|的坐标关系式，通过转化，利用配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值问题．

如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-12，0)，B(12，0)，设P(x，5)(x∈R)，

则有|AP|×|BP|

图2

解法2(三角法)通过作图，利用三角函数的定义，结合|AB|=|AC|+|BC|引入对应的三角关系式，并通过三角恒等变换加以转化，再利用两线段的乘积|AP|×|BP|的三角关系式的变换，利用三角函数的图象与性质来确定相……