江春莲 柳芳

学生创新能力的培养离不开探究性教学和评价。如何组织探究性教学？如何设计探究性评价任务？笔者以一道中考几何题为例，具体谈谈如何测试学生的创新能力。

[如右图，[AB]垂直平分[CD]交[CD]于[O]，[AB]=[BC]，[E]为[BC]延长线上的一点，[F]为[DB]延长线上一点，连接[AE]、[AF]，[∠EAF=∠EBF]，

（1）求证：[AE]=[AF].

（2）探究[BE]、[BF]、[OB]之间的关系，并证明.

（3）若[23OB=OA=1]，[BF=3]，直接写出[△ABE]的面积. ] 上述第一问是证明题;第二问是探究性问题，要求学生探究三条线段之间的关系;第三问则是根据给定的线段长求[△ABE]的面积。

第一问有两种解题思路：

【思路一】作辅助线：过[A]作[AG⊥BE]，[AH⊥BF]，[G]、[H]为垂足;又设[AF]、[BE]交于点[I].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC=][BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分，[∴][AG=AH].

在[△EAI]与[△FBI]中，[∵∠EAF=∠EBF]（已知）和[∠EIA=∠EIB]（对顶角相等），[∴∠IEA=∠IFB]（三角形内角和定理）在[△EAG]与[△FAH]中，[∵][∠IEA=∠IFB]，[∠AGE=∠AHF=900]和[AG=AH]，[∴][△AGE？△AHF]，

[∴][AE-BF]=[（BG+GE）][-][（HF-HB）]=[BG+HB].（[∵][GE=HF）]

【思路二】作辅助线：连接线段[EF]，[∵][∠EAF]=[∠EBF]，[E]、[A]、[B]、F四点共圆，[∴][∠FEA]=[∠ABD]，[∠EFA]=[∠EBA].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC]=[BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分[∠CBD]，[∠ABD=∠ABE]，[∴∠FEA][=∠EFA]，[∴][AE=AF].

第二问，沿着上面的思路，可以得到：[BE=BG=GE]，[BF=HF-HB]，由此不难证明[△AGB？][△AHB][？][△COB]，进而得出：[BE-BF]=2[BG]=2[OB].

第三问，根据前两题的结论得出[S△ABE]=[12BE·AG]=[12（BF+2OB）·OB]，代入各个值即可计算出其面积。

从上面的讨论，我们可以看出设计者一环套一环的设计思路。这样的设计可以帮助学生扫除解答过程中的困难，但如果学生在第一问中沿思路二解答，则很难找到第二问的解答方法。如何突破这一点，帮助学生找到思路呢？在此我们先讨论如何作图，再来看图形如何变化，借以引导学生找到思路。

[【作图】根据前面的分析，我们可以看到在这个问题的图形中，[C]、[D]可以任意选取，而[AB]则是[CD]的中垂线，考虑到[AB=BC]，可以先确定[A]，再确定[B]。（当然，也可以是先有[A]、[B]、[C]点，而要满足[AB]垂直平分[CD]，[D]点就应该是[C]点关于[AB]的对称点。）无论如何，一旦[C]、[D]两点被确定下来，[CD]的中点[O]就被确定下来。……