江春莲 柳芳

学生创新能力的培养离不开探究性教学和评价。如何组织探究性教学？如何设计探究性评价任务？笔者以一道中考几何题为例，具体谈谈如何测试学生的创新能力。

[如右图，[AB]垂直平分[CD]交[CD]于[O]，[AB]=[BC]，[E]为[BC]延长线上的一点，[F]为[DB]延长线上一点，连接[AE]、[AF]，[∠EAF=∠EBF]，

（1）求证：[AE]=[AF].

（2）探究[BE]、[BF]、[OB]之间的关系，并证明.

（3）若[23OB=OA=1]，[BF=3]，直接写出[△ABE]的面积. ] 上述第一问是证明题;第二问是探究性问题，要求学生探究三条线段之间的关系;第三问则是根据给定的线段长求[△ABE]的面积。

第一问有两种解题思路：

【思路一】作辅助线：过[A]作[AG⊥BE]，[AH⊥BF]，[G]、[H]为垂足;又设[AF]、[BE]交于点[I].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC=][BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分，[∴][AG=AH].

在[△EAI]与[△FBI]中，[∵∠EAF=∠EBF]（已知）和[∠EIA=∠EIB]（对顶角相等），[∴∠IEA=∠IFB]（三角形内角和定理）在[△EAG]与[△FAH]中，[∵][∠IEA=∠IFB]，[∠AGE=∠AHF=900]和[AG=AH]，[∴][△AGE？△AHF]，

[∴][AE-BF]=[（BG+GE）][-][（HF-HB）]=[BG+HB].（[∵][GE=HF）]

【思路二】作辅助线：连接线段[EF]，[∵][∠EAF]=[∠EBF]，[E]、[A]、[B]、F四点共圆，[∴][∠FEA]=[∠ABD]，[∠EFA]=[∠EBA].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC]=[BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分[∠CBD]，[∠ABD=∠ABE]，[∴∠FEA][=∠EFA]，[∴][AE=AF].

第二问，沿着上面的思路，可以得到：[BE=BG=GE]，[BF=HF-HB]，由此不难证明[△AGB？][△AHB][？][△COB]，进而得出：[BE-BF]=2[BG]=2[OB].

第三问，根据前两题的结论得出[S△ABE]=[12BE·AG]=[12（BF+2OB）·OB]，代入各个值即可计算出其面积。

从上面的讨论，我们可以看出设计者一环套一环的设计思路。这样的设计可以帮助学生扫除解答过程中的困难，但如果学生在第一问中沿思路二解答，则很难找到第二问的解答方法。如何突破这一点，帮助学生找到思路呢？在此我们先讨论如何作图，再来看图形如何变化，借以引导学生找到思路。

[【作图】根据前面的分析，我们可以看到在这个问题的图形中，[C]、[D]可以任意选取，而[AB]则是[CD]的中垂线，考虑到[AB=BC]，可以先确定[A]，再确定[B]。（当然，也可以是先有[A]、[B]、[C]点，而要满足[AB]垂直平分[CD]，[D]点就应该是[C]点关于[AB]的对称点。）无论如何，一旦[C]、[D]两点被确定下来，[CD]的中点[O]就被确定下来。接下来，可以在[BC]的延长线上任取[E]点，作[△ABE]的外接圆，该圆与[DB]延长线的交点，即为[F]点，所以，一旦[E]点被确定下来，[F]点也就相应地被确定下来。反过来，我们也可以在[DB]的延长线上取点[F]，作[△ABE]的外接圆与[BC]延长线的交点[E]。 ]

由此，我们可以以[BE]的长度为横坐标，[BF]的长度为纵坐标，作点，并追踪该点，不难發现，其轨迹是斜率为1的直线（如上图），所以[BE-BF]为常数。若同时测量[OB]的长度，可以发现，[BE-BF]=[2OB].

在考试时，学生是没有动态几何软件可看的，如何辅助他们探究[BE]与[OB]的关系呢？笔者认为，可以采用列表的方法给学生提供如下一些测量数据：

[序列 [BE] [BF] [OB] S1 5.04 0.92 2.06 S2 5.54 1.42 2.06 S3 6.04 1.92 2.06 S4 6.54 1.92 2.31 S5 7.04 1.92 2.56 ]

表中前三组数据中[OB]的值是一样的，所以学生只用观察[BE]和[BF]的改变，从[S1]到[S2]，从[S2]到[S3]，[BE]均增加了0.5，而[BF]也相应地增加了0.5，我们可以猜想[BE]和[BF]之间是一次函数关系，而且系数比应该是1;而后三组数据中的[BF]的值是一样的，所以学生只用观察[BE]和[OB]的改变，从[S3]到[S4]，从[S4]到[S5]，都是[BE]增加了0.5，而[OB]增加了0.25，我们可以猜想[BE]和[OB]之间是一次函数关系，而且系数比应该是1：2。至此，学生可以得出[BE]=[BE+b1]、[BE=2OB+b2]（其中[b1]、[b2]为待确定的常数）。最后，学生可以选第一组数据，得到三条线段之间的关系：[BE=BF+2OB]，并代入后面的几组数据中进行检验。

有了动态几何软件以后，我们可以通过建立函数关系对要解决的问题进行探究。但在考试的情况下，如何呈现类似的信息呢？我们可以利用数表，让学生观察数表中量与量之间的关系，做简单的数学建模。

对学生来说，建立函数常见的三种表达形式之间的联系是一大困难，学生较习惯于解析式表征，而不太熟悉数表和图象表征。这样的问题设计，可以帮助学生从不同的角度认识一次函数的两个量之间的关系。当然，这里实际上是一个二元函数，考虑它们之间的关系时，可以把一个量（如[OB]）当作已知的，单独探讨[BE]和[BF]之间的关系，这也是数学中处理复杂问题的常用方法。

（作者单位：江春莲， 澳门大学教育学院;柳芳，深圳市深圳中学）

责任编辑  张敏