齐欣

摘要：本文通过对2016年大庆中考数学一模试卷上的一个填空题进行研究，发现图中隐含着基本图形，进而发现图形中线段、角之间还可能存在一定的数量关系是解题的关键.

关键词：几何综合题;思路探究;转化思想

一道数学试题凝结了命题者的智慧，具有典型性、示范性，引导性.本文结合一道中考模拟题的思路探究，揭示数学问题是如何运用所学知识加以解决的，万变不离其宗，体会知识转化才是一切转化思想与方法的本源.九年级下中考复习时，2016年大庆中考数学一模试卷上的一道求线段长度填空压轴题难倒了一大批学生和教师.笔者研究发现，借助转化思想，抓住基本图形，从导角人手，是这类问题的重要突破口.

1 试题呈现

如图1，等腰△ABC中，AB =AC，tan∠B=3/4，BC= 30，点D为BC中点，射线DE⊥AC，垂足为点E.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为点A，点B的对应点为点B），射线AB分别交射线DA、DE于点M、N，且DM=DN.

（1）求证：∠ACB =2∠ACH;

（2）求线段DM的长.

2 思路分析

对于第（1）问，作B'K上HN，垂足为点K，则BK//AC.设CB交DM于点G，延长CA交DN的延长线于点F（如图2），借助平行线转移角，容易得到∠ACH= ∠HBK因此，只需证BN=BH，即证∠BHN=∠BNH.而由已知DM= DN，得∠B'NH= ∠DMN，因此只需证∠B'HN=∠DMN.因为∠B'HN是△FHC的外角，∠DMN是△BMG的外角，且∠A'B'C=∠ACB，所以转化为证∠DGC=∠CFE.由AB =AC，AD为中线，根据“三线合一”，可知∠GDC=90°，从而∠DGC+ ∠BCG= 90°.又∠CFE+∠ACF= 90°，从而只需证∠ACF=∠BCG，只需证∠ACB=∠ACB.结合旋转这一条件，这是显然的.

有了第（1）问的铺垫，对于第（2）问的思路探求，就柳暗花明，水到渠成了.如图3，作∠ACB的角平分线CP，交DE于点P，作PQ⊥BC，垂足为点Q.则由（1）知，∠DCP=∠PCE=∠ECH，PQ= PE= EH.而AD =15×3/4=45/4，DE=9，PQ： DP =4：5，所以EH=PE= PQ =4，DP =5，DQ =3，QC=12，HC= PC =4√10.

3 解后反思

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角……