钱鹏

摘要：本文以一道河南模拟解几题为例，从不同角度进行探究，意在体现由一题通一类，提升数学能力，养威良好的思维方法.

关键词：探究;最值;距离

解析几何问题往往沿续初中平面几何中点、线段、直线以及平面几何图形等的关系，结合平面几何的方法或坐标法来处理一些相应的问题，特别是一些相应的最值问题等，越来越成为命题者青睐的考点之一，特别，此类问题往往是创新的重要场所之一，通过巧妙设置来综合应用.

1 问题呈现

问题（河南省中原名校2019届高三第一次教学指导卷.15）已经线段IABI =24，直线l//AB，且直线Z到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|×|BP|的最小值为______.

本题既有初中平面几何的问题背景，又有高中解析几何的问题定位，巧妙把初中平面几何与高中解析几何加以交汇，延续初中与高中数学知识的连续性与综合性，具有一定的创新与综合功能.

2多 维探究

探究1不同的问题切入视角会有不同的思考，对应不同的解法.那么，本题有哪些不同的解法呢？

解法1 （坐标法）通过建立平面直角坐标系，引入坐标，利用点的坐标以及两点间的距离公式建立相应的两线段的乘积|AP|×|BP|的坐标关系式，通过转化，利用配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值问题.

如图1，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（-12，0），B（12，0），设P（x，5）（X∈R），则有

解法2 （三角法）通过作图，利用三角函数的定义，结合|AB|=|AC|+|BC|引入对应的三角关系式，并通过三……